[论文解读] Derandomizing the Isolation Lemma and Lower Bounds for Circuit Size

V. Arvind, Partha Mukhopadhyay|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文证明，对受限版本的隔离引理进行去随机化，意味着非交换与交换算术电路的强电路大小下界。通过将隔离引理与多项式恒等式检测联系起来，作者表明，对电路的权重分配进行去随机化，将导致要么 NEXP⊄P/poly，要么永久项不存在多项式大小的算术电路。

ABSTRACT

The isolation lemma of Mulmuley et al \cite{MVV87} is an important tool in the design of randomized algorithms and has played an important role in several nontrivial complexity upper bounds. On the other hand, polynomial identity testing is a well-studied algorithmic problem with efficient randomized algorithms and the problem of obtaining efficient \emph{deterministic} identity tests has received a lot of attention recently. The goal of this note is to compare the isolation lemma with polynomial identity testing: 1. We show that derandomizing reasonably restricted versions of the isolation lemma implies circuit size lower bounds. We derive the circuit lower bounds by examining the connection between the isolation lemma and polynomial identity testing. We give a randomized polynomial-time identity test for noncommutative circuits of polynomial degree based on the isolation lemma. Using this result, we show that derandomizing the isolation lemma implies noncommutative circuit size lower bounds. The restricted versions of the isolation lemma we consider are natural and would suffice for the standard applications of the isolation lemma. 2. From the result of Klivans-Spielman \cite{KS01} we observe that there is a randomized polynomial-time identity test for commutative circuits of polynomial degree, also based on a more general isolation lemma for linear forms. Consequently, derandomization of (a suitable version of) this isolation lemma also implies circuit size lower bounds in the commutative setting.

研究动机与目标

• 研究对隔离引理进行去随机化与证明电路大小下界之间的联系。
• 探讨对隔离引理进行受限去随机化是否会导致非平凡的复杂性理论后果。
• 建立对非交换与交换电路在多项式恒等式检测中使用的隔离引理进行去随机化所导致的后果。
• 提出并分析保留隔离引理在关键算法应用中实用性的去随机化假设。
• 证明对特定隔离引理进行去随机化可导致主要复杂性类分离或电路下界。

提出的方法

• 提出两个去随机化假设：一个基于电路特定的权重函数（假设1），另一个基于对给定大小的所有电路进行统一生成（假设2）。
• 利用隔离引理通过基于随机权重将变量替换为某变量的幂，为非交换电路构造一个随机化多项式时间恒等式检测算法。
• 应用 Klivans-Spielman 的恒等式检测算法处理交换电路，该方法依赖于有理多项式上线性形式的广义隔离引理。
• 通过假设这些隔离引理的去随机化，并结合 Impagliazzo-Kabanets 和 Valiant-Vazirani 的已知结果，推导出电路下界。
• 利用存在一个确定性算法，能生成一组小的权重函数，使在任何电路定义的族中唯一最小权重集合被隔离，从而推导出次指数时间的确定性恒等式检测算法。
• 通过将算术电路中的单项式检测问题归约到电路接受问题，利用假设 NEXP ⊆ P/poly，推导出在去随机化假设下的矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对隔离引理的受限版本进行去随机化，是否意味着非交换算术电路的电路大小下界？
• RQ2 对交换电路的隔离引理进行去随机化，是否会导致 NEXP⊄P/poly 或永久项算术电路大小的下界？
• RQ3 对隔离引理进行去随机化与存在算术电路的次指数时间确定性恒等式检测之间是否存在联系？
• RQ4 是否可以以一种类似隔离引理情况的方式对 Valiant-Vazirani 引理进行去随机化，从而导出类似的电路下界？
• RQ5 假设存在一个确定性算法，能为所有给定大小和输入长度的电路生成隔离唯一最小权重集合的权重函数，其复杂性理论后果是什么？

主要发现

• 对假设1（基于电路特定权重生成）进行去随机化，意味着多项式次数的非交换算术电路需要超多项式大小。
• 对假设2（对大小为 m 的所有电路进行统一权重生成）进行去随机化，意味着要么 NEXP⊄P/poly，要么在 ℤ 上的永久项不存在多项式大小的算术电路。
• 假设对交换电路的 Klivans-Spielman 隔离引理进行去随机化，将导出对 ℚ 上多项式的一个次指数时间确定性恒等式检测算法。
• 在假设 NEXP ⊆ P/poly 的前提下，对具有访问 EXP-完全语言预言机的电路的隔离引理进行去随机化，意味着存在一个显式多项式，无法由次指数大小的交换电路计算。
• 本文表明，对非交换电路的隔离引理进行去随机化，可通过使用随机权重的单变量代入，得到一个随机化多项式时间恒等式检测算法。
• 存在一个确定性算法，能生成一组小的权重函数，使在任何电路定义的族中唯一最小权重集合被隔离，这将导出算术电路的次指数时间确定性恒等式检测算法。