[论文解读] Derandomizing the Lovasz Local Lemma more effectively

Robin A. Moser|ArXiv.org|Jul 14, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 16

一句话总结

本文提出了一种新的去随机化算法，用于求解有变量出现次数限制的k-CNF公式，实现了显著改进的阈值 O(2^{k/2}/k) 次每变量出现。通过引入一种新型的、更密集的见证树结构，并摒弃对传统2,3树框架的依赖，该方法能够高效地确定性求解比以往可能更大的可满足公式类，从而填补了洛瓦兹局部大数定理去随机化领域长期存在的空白。

ABSTRACT

The famous Lovasz Local Lemma [EL75] is a powerful tool to non-constructively prove the existence of combinatorial objects meeting a prescribed collection of criteria. Kratochvil et al. applied this technique to prove that a k-CNF in which each variable appears at most 2^k/(ek) times is always satisfiable [KST93]. In a breakthrough paper, Beck found that if we lower the occurrences to O(2^(k/48)/k), then a deterministic polynomial-time algorithm can find a satisfying assignment to such an instance [Bec91]. Alon randomized the algorithm and required O(2^(k/8)/k) occurrences [Alo91]. In [Mos06], we exhibited a refinement of his method which copes with O(2^(k/6)/k) of them. The hitherto best known randomized algorithm is due to Srinivasan and is capable of solving O(2^(k/4)/k) occurrence instances [Sri08]. Answering two questions asked by Srinivasan, we shall now present an approach that tolerates O(2^(k/2)/k) occurrences per variable and which can most easily be derandomized. The new algorithm bases on an alternative type of witness tree structure and drops a number of limiting aspects common to all previous methods.

研究动机与目标

• 填补洛瓦兹局部大数定理保证的存在性阈值与k-CNF公式算法可解性阈值之间的差距。
• 克服基于传统2,3树见证结构的先前去随机化技术的局限性。
• 开发一种能够在多项式时间内求解具有更高变量出现次数边界的k-CNF实例的确定性算法。
• 通过使见证树成为算法决策过程的内在部分，消除对将子句分类为坏、危险或安全的依赖。
• 证明每变量 O(2^{k/2}/k) 次出现足以实现高效的去随机化可满足性。

提出的方法

• 引入一种新型密集见证树结构，取代先前算法中使用的传统2,3树框架。
• 从依赖图的连通分量构造复合见证，确保最小且结构合理的表示。
• 利用子句的字典序定义新文字，并为每个复合见证W构建子句 Dφ(W)。
• 采用概率分析证明：由大小在 log(2m) 到 (k+1)log(2m) 之间的见证构成的公式 ψ，其未满足子句的期望数量小于1。
• 通过在多项式时间内确定性求解公式 ψ 来实现去随机化，确保在满足赋值下不存在大型复合见证。
• 对大小为对数级的剩余组件应用确定性局部搜索，其存在性由大型见证的缺失所保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将洛瓦兹局部大数定理的去随机化扩展到处理每变量出现次数超过 O(2^{k/4}/k) 的k-CNF公式？
• RQ2 是否可能消除对2,3树见证结构的依赖，并以更密集、更高效的结构取而代之？
• RQ3 能否从算法过程中移除对坏、危险和安全子句的区分？
• RQ4 是否存在一种针对每变量出现次数为 O(2^{k/2}/k) 的k-CNF公式的确定性多项式时间算法？
• RQ5 能否使见证树构造本身成为算法的一部分，而非仅作为概率分析的工具？

主要发现

• 该算法可在期望多项式时间内求解任意k-CNF公式，其中每个变量的出现次数不超过 2^{k/2}/(36k) 次。
• 该方法实现了比以往最先进方法更好的可证明出现次数阈值 O(2^{k/2}/k)，优于之前随机算法的 O(2^{k/4}/k)。
• 可在多项式时间内找到由大小介于 log(2m) 和 (k+1)log(2m) 之间的复合见证构成的公式 ψ 的满足赋值，从而确保在该赋值下不存在大型见证。
• 公式 ψ 中未满足子句的期望数量小于1，通过概率方法证明其可满足性。
• 在求解 ψ 后，剩余的残差组件被保证为对数规模，从而可实现高效的确定性求解。
• 新型见证树结构消除了对子句分类的需求，使去随机化过程更加简洁且鲁棒。