[论文解读] Derangements and tensor powers of adjoint modules for sl_n

Georgia Benkart, Stephen Doty|ArXiv.org|Aug 15, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文给出了 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 作为 $\mathfrak{sl}_n$-模的显式分解，表明不可约直和项的重数由错位数给出。当 $n \geq 2k$ 时，中心化代数 $\operatorname{End}_{\mathfrak{sl}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes k})$ 同构于墙 Brauer 代数 $B_{k,k}(n)$ 的一个子代数，其基由 $2k$ 个元素的错位排列索引，其维数为 $D_{2k}$，即 $2k$ 个元素的错位数。

ABSTRACT

We obtain the decomposition of the tensor space $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ as a module for $\mathfrak{sl}_n$, find an explicit formula for the multiplicities of its irreducible summands, and (when $n \ge 2k$) describe the centralizer algebra $C=End_{\mathfrak{sl}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes k})$ and its representations. The multiplicities of the irreducible summands are derangement numbers in several important instances, and the dimension of $C$ is given by the number of derangements of a set of $2k$ elements.

研究动机与目标

• 确定张量幂 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 关于不可约 $\mathfrak{sl}_n$-模的完全分解。
• 使用组合方法计算 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 中每个不可约直和项的重数。
• 描述当 $n \geq 2k$ 时中心化代数 $\mathcal{C} = \operatorname{End}_{\mathfrak{sl}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes k})$ 的结构。
• 将中心化代数 $\mathcal{C}$ 识别为墙 Brauer 代数 $B_{k,k}(n)$ 的子代数，并提供由错位排列索引的基。
• 建立关于 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 上 $\mathcal{C} \times \mathfrak{sl}_n$-双模结构的双重中心化定理。

提出的方法

• 使用 $\mathfrak{gl}_n$ 的最高权理论，通过配对的分拆 $(\lambda, \mu)$ 标记不可约直和项。
• 应用 [BCHLLS] 中的组合结果，分析张量积与分解的结构。
• 构造一个幂等元 $p = \frac{1}{n}c$，将 $V \otimes V^*$ 投影到 $\mathfrak{sl}_n$ 上，其中 $c$ 是通过迹的收缩映射。
• 将中心化代数 $\mathcal{C}$ 识别为墙 Brauer 代数 $B_{k,k}(n)$ 的子代数 $bB_{k,k}(n)b$，其中 $b$ 是对应于投影到 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 的幂等元。
• 使用 Schur 裤子 $e(-)$，其中 $e$ 是对应于平凡表示的幂等元，将不可约 $B_{k,k}(n)$-模与不可约 $\mathcal{C}$-模联系起来。
• 通过 $B_{k,k}(n)$ 中无禁止对的图示构造 $\mathcal{C}$ 的基，这些图示与 $\{1, \dots, 2k\}$ 的错位排列之间存在双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式分解 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 为不可约 $\mathfrak{sl}_n$-模？
• RQ2 在 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 中，不可约直和项的重数是什么？它们与错位数有何关联？
• RQ3 当 $n \geq 2k$ 时，中心化代数 $\mathcal{C} = \operatorname{End}_{\mathfrak{sl}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes k})$ 的结构是什么？
• RQ4 $\mathcal{C}$ 如何与墙 Brauer 代数 $B_{k,k}(n)$ 相关联？
• RQ5 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 作为 $\mathcal{C} \times \mathfrak{sl}_n$-双模的双重中心化分解是什么？

主要发现

• 在 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 中，伴随模 $\mathfrak{sl}_n$ 的重数为 $D_{k+1}$，即 $k+1$ 个元素的错位数。
• 当 $n \geq 2k$ 时，$\mathfrak{sl}_n^{\otimes k}$ 中 $\mathfrak{sl}_n$-不变子空间的维数为 $D_k$，即 $k$ 个元素的错位数。
• 当 $n \geq 2k$ 时，中心化代数 $\mathcal{C} = \operatorname{End}_{\mathfrak{sl}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes k})$ 的维数为 $D_{2k}$，即 $2k$ 个元素的错位数。
• 中心化代数 $\mathcal{C}$ 同构于墙 Brauer 代数 $B_{k,k}(n)$ 的子代数 $bB_{k,k}(n)b$，其基由 $\{1, \dots, 2k\}$ 的错位排列索引。
• 不可约 $\mathcal{C}$-模的形式为 $eM_{\lambda,\mu}$，其中 $M_{\lambda,\mu}$ 是不可约 $B_{k,k}(n)$-模，且 $eM_{\lambda,\mu} \neq 0$ 当且仅当在有序子集 $\underline{s}, \underline{t}$ 的所有对中 $s_i \neq t_i$。
• 作为 $\mathcal{C} \times \mathfrak{sl}_n$-双模，有 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes k} \cong \bigoplus_{r=0}^k \bigoplus_{\lambda,\mu \vdash r} eM_{\lambda,\mu} \otimes L(\lambda, \mu)$，其中 $L(\lambda, \mu)$ 是最高权为 $(\lambda, \mu)$ 的不可约 $\mathfrak{sl}_n$-模。