[论文解读] Derivation of a low multiplicative complexity algorithm for multiplying hyperbolic octonions

Aleksandr Cariow, Galina Cariowa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的双曲八元数乘法算法，仅需26次实数乘法和92次实数加法——显著低于直接计算所需的64次乘法和56次加法。该方法利用双曲八元数乘法的矩阵-向量表示，并通过利用变换矩阵的独特结构分解，实现了极低的乘法复杂度。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm to multiply two hyperbolic octonions. The direct multiplication of two hyperbolic octonions requires 64 real multiplications and 56 real additions. More effective solutions still do not exist. We show how to compute a product of the hyperbolic octonions with 26 real multiplications and 92 real additions. During synthesis of the discussed algorithm we use the fact that product of two hyperbolic octonions may be represented as a matrix - vector product. The matrix multiplicand that participates in the product calculating has unique structural properties that allow performing its advantageous factorization. Namely this factorization leads to significant reducing of the computational complexity of hyperbolic octonions multiplication.

研究动机与目标

• 为解决当前双曲八元数乘法缺乏高效算法的问题，该问题目前需要64次实数乘法。
• 通过利用相关变换矩阵的结构性质，降低双曲八元数乘法的计算复杂度。
• 推导出一种具有最小乘法复杂度的实际算法，同时保持正确性和效率。
• 提供一种系统化的方法，用于分解双曲八元数乘法的矩阵表示，以实现优化。

提出的方法

• 将两个双曲八元数的乘积表示为矩阵-向量乘法，其中矩阵编码了乘法规则。
• 分析变换矩阵的结构性质，以识别可利用的对称性和冗余性。
• 应用矩阵分解技术，将变换矩阵分解为稀疏或结构化矩阵的乘积，从而减少所需乘法的次数。
• 通过代数优化，利用分解后的矩阵分量重建最终乘积，最小化实数乘法次数。
• 通过确保与标准双曲八元数乘法公式等价，验证所推导算法的正确性。
• 通过策略性地分组和重用中间项，将加法次数优化至92次，同时最小化乘法操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲八元数乘法的乘法复杂度能否低于直接方法的64次乘法？
• RQ2 双曲八元数乘法矩阵的哪些结构性质使其能够实现高效分解？
• RQ3 是否可能在保持加法次数可控的前提下，显著减少乘法次数？
• RQ4 如何系统性地将矩阵分解技术应用于非结合代数（如双曲八元数）？

主要发现

• 所提出的算法将双曲八元数乘法所需的实数乘法次数从64次减少至26次。
• 该算法通过矩阵-向量表示和有效的分解，保持了代数结构的正确性。
• 实数加法次数增加至92次，这一代价对于乘法次数的显著降低而言是合理的折衷。
• 关键创新在于识别并利用了变换矩阵中独特的结构性质，从而实现了高效的分解。
• 该方法表明，即使在非结合代数中，矩阵表示也能实现显著的算法优化。