[论文解读] Derivation of a non-objective Oldroyd model from the Boltzmann equation

Alexander J. Wagner|arXiv (Cornell University)|May 3, 2001

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文从气体在长松弛时间下的玻尔兹曼方程的BGK近似出发，推导出一个非客观的粘弹性本构方程，表明惯性效应会阻止客观的应力响应。该模型预测剪切变稀和负的一阶法向应力差——与聚合物液体相反——这是由于粒子速度分布中的动量输运各向异性的结果，且在简单剪切流和拉伸流中获得了精确解。

ABSTRACT

I calculate the hydrodynamic limit of the BGK approximation of the Boltzmann equation for the case of a long stress relaxation time and find that the stress obeys a viscoelastic constitutive equation. The constitutive equation is different from standard constitutive equations used for polymeric liquids in that it is not ``objective'' because inertial effects are important. I calculate the exact solution for the stresses for simple shear flow and elongational flow.

研究动机与目标

• 通过在长松弛时间下的流体动力学极限中使用BGK-玻尔兹曼方程，推导出一种气体的粘弹性本构方程。
• 识别气体中非牛顿行为的起源，与聚合物液体不同，重点在于动量输运的各向异性。
• 表明所推导的模型由于显著的惯性贡献而具有非客观性，与标准的聚合物模型不同。
• 在所推导的本构方程下，为简单剪切流和拉伸流提供应力的精确解析解。
• 解释气体中负的一阶法向应力差的物理起源，与聚合物液体中的正值形成对比。

提出的方法

• 对玻尔兹曼方程应用BGK近似，假设向局部麦克斯韦-玻尔兹曼平衡态的单一致命时间弛豫。
• 计算流体动力学矩（密度、动量、能量），以推导出包含非平衡应力张量的连续性方程和动量方程。
• 利用BGK弛豫项将应力分解为平衡部分和迹为零的非平衡部分。
• 在大弛豫时间τ的流体动力学极限下，推导出应力张量σαβ的粘弹性本构方程。
• 对简单剪切流（u_y = ˙ε y）和拉伸流（u_x = ˙ε x, u_y = -˙ε y）精确求解，得到应力的闭式表达式。
• 将结果与Zwanzig在简单剪切流中对BGK-玻尔兹曼方程的解析解进行比较，以验证推导过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在长弛豫时间的流体动力学极限下，BGK-玻尔兹曼方程如何产生一个非客观的粘弹性本构方程？
• RQ2 为何所推导的模型在气体中预测负的一阶法向应力差，而与聚合物液体中的正值相反？
• RQ3 气体中的剪切变稀现象的起源是什么？它与聚合物液体中的机制有何不同？
• RQ4 在该模型下，能否为简单剪切流和拉伸流都推导出应力的精确解析解？
• RQ5 惯性效应如何使该基于气体的粘弹性模型中客观应力响应的假设失效？

主要发现

• 所推导的本构方程是非客观的，因为惯性效应不可忽略，这使其与标准的聚合物模型相区别。
• 在简单剪切流中，该模型重现了Zwanzig对BGK-玻尔兹曼方程的精确解，验证了推导的正确性。
• 一阶法向应力差为负，表明应力张量会减小流向上壁面的受力，与聚合物液体相反。
• 剪切变稀源于x方向动量在y方向输运的减少，这是由于粒子速度分布的各向异性所致。
• 在拉伸流中推导出了应力的精确解，表明在小形变下应力与应变率呈二次依赖关系。
• 当使用简单恒温器时会出现非物理发散，表明恒温约束可能导致负的概率贡献，因此是非物理的。