[论文解读] Derivation of a two-phase flow model with two-scale kinematics, geometric variables and surface tension using variational calculus

Pierre Cordesse, Samuel Kokh+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过变分法推导出一种新颖的两相流模型，利用几何变量——体积分数、界面面积密度和平均曲率——同时捕捉大尺度界面动力学与小尺度运动学及表面张力效应。通过将最小作用量原理扩展至包含双尺度表面张力与非球形、多分散气泡，该模型提供了一个统一且几何一致的框架，用于复杂两相流模拟，无需假设球对称性。

ABSTRACT

The present paper proposes a two-phase flow model that is able to account for two-scale kinematics and two-scale surface tension effects based on geometric variables at small scale. At large scale, the flow and the full geometry of the interface may be retrieved thanks to the bulk variables, while at small scale the interface is accurately described by volume fraction, interfacial area density and mean curvature, called the geometric variables. Our work mainly relies on the Least Action Principle. The resulting system is an extension of a previous work modeling small scale pulsation in which surface tension was not taken into account at large or small scale. Whereas the original derivation assumes a cloud of monodispersed spherical bubbles, the present context allows for polydispersed, non-spherical bubbles. The resulting system of equations solely involves small scale geometric variables, thus contributing in the construction of a unified model describing both large and small scales.

研究动机与目标

• 开发一种统一的欧拉型两相流模型，以同时捕捉大尺度界面动力学与小尺度几何效应。
• 通过在大尺度与小尺度均引入表面张力效应，扩展先前模型，而不仅限于小尺度。
• 考虑多分散、非球形气泡，而非假设单分散球形气泡。
• 仅使用几何变量——体积分数、界面面积密度与平均曲率——作为小尺度描述变量，从而实现双尺度系统的闭合。
• 通过最小作用量原理推导出一组一致的控制方程，确保热力学一致性与守恒定律。

提出的方法

• 构建一个拉格朗日能量泛函，其中包含大尺度与小尺度的动能、内能及表面能贡献。
• 应用最小作用量原理，通过对作用量泛函关于状态变量及其空间与时间导数的变分，推导出控制偏微分方程。
• 利用威爾（Weyl）管公式，将气体夹杂物的小尺度几何结构（微分同胚于球体）与界面面积密度和平均曲率关联起来。
• 引入双尺度参数化：大尺度界面位置通过体积分数梯度描述，而小尺度界面特性由Σ（界面面积密度）与H（平均曲率）描述。
• 对几何变量的演化施加约束，包括α、Σ与h（法向位移）的输运方程，确保与界面运动学的一致性。
• 通过计算作用量对流场映射与几何变量的变分，推导出运动方程，从而获得动量、质量与几何演化方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在两相流系统中一致地建模大尺度与小尺度的表面张力效应？
• RQ2 在多分散、非球形气泡流中，描述小尺度界面形态所需的必要且充分的几何变量是什么？
• RQ3 如何将最小作用量原理扩展至包含变分框架中的双尺度运动学与毛细作用？
• RQ4 在小尺度界面描述中，体积分数、界面面积密度与平均曲率之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过单一统一模型同时描述大尺度界面运动与小尺度脉动效应（包括表面张力），而无需假设球对称性？

主要发现

• 所推导的模型是首个仅通过小尺度几何变量（体积分数、界面面积密度与平均曲率）一致地考虑大尺度与小尺度表面张力效应的模型。
• 该模型成功扩展了先前工作，消除了对单分散球形气泡的假设，从而能够描述多分散、非球形气泡。
• 控制方程通过最小作用量原理推导，确保了热力学一致性以及质量、动量与能量的守恒。
• 通过威爾管公式导出的几何约束，界面面积密度Σ、平均曲率H与体积分数α之间的关系得以保持。
• 该模型提供了一个仅依赖于小尺度几何变量的封闭方程组，实现了跨尺度两相流的统一描述。
• 推导过程为未来复杂两相流模型（如喷雾形成与雾化）奠定了变分基础，其中大尺度界面形变与小尺度毛细效应均至关重要。