[论文解读] Derivation of Generalized Equations for the Predictive Value of Sequential Screening Tests

Jacques Balayla|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文推导出广义贝叶斯方程，用于计算在不同敏感性、特异性和患病率下，顺序和正交筛查测试的阳性预测值和阴性预测值。研究表明，重复或联合检测能显著提高预测准确性，尤其是在低患病率环境中，通过数学建模测试序列中出现矛盾结果的影响，实现更优诊断策略。

ABSTRACT

Using Bayes' Theorem, we derive generalized equations to determine the positive and negative predictive value of screening tests undertaken sequentially. Where a is the sensitivity, b is the specificity, $ϕ$ is the pre-test probability, the combined positive predictive value, $ρ(ϕ)$, of $n$ serial positive tests, is described by: $ρ(ϕ) = \frac{ϕ\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_n}{ϕ\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_n+(1-ϕ)\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(1-b_n)}$ If the positive serial iteration is interrupted at term position $n_i-k$ by a conflicting negative result, then the resulting negative predictive value is given by: $ψ(ϕ) = \frac{[(1-ϕ)b_{n-}]\displaystyle\prod_{i=b_{1+}}^{b_{(n-1)+}}(1-b_{n+})}{[ϕ(1-a_{n-})]\displaystyle\prod_{i=a_{1+}}^{a_{(n-1)+}}a_{n+}+[(1-ϕ)b_{n-}]\displaystyle\prod_{i=b_{1+}}^{b_{(n-1)+}}(1-b_{n+})}$ Finally, if the negative serial iteration is interrupted at term position $n_i-k$ by a conflicting positive result, then the resulting positive predictive value is given by: $λ(ϕ)= \frac{ϕa_{n+}\displaystyle\prod_{i=a_{1-}}^{a_{(n-1)-}}(1-a_{n-})}{ϕa_{n+}\displaystyle\prod_{i=a_{1-}}^{a_{(n-1)-}}(1-a_{n-})+[(1-ϕ)(1-b_{n+})]\displaystyle\prod_{i=b_{1-}}^{b_{(n-1)-}}b_{n-}}$ The aforementioned equations provide a measure of the predictive value in different possible scenarios in which serial testing is undertaken. Their clinical utility is best observed in conditions with low pre-test probability where single tests are insufficient to achieve clinically significant predictive values and likewise, in clinical scenarios with a high pre-test probability where confirmation of disease status is critical.

研究动机与目标

• 推导在不同敏感性、特异性和患病率下，计算顺序筛查测试预测值的广义数学方程。
• 解决在低患病率条件下单次检测的局限性，此时阳性预测值（PPV）急剧下降。
• 建模顺序检测因矛盾结果（如在阴性测试后出现阳性结果）而中断的情景，并推导相应的预测值。
• 为正交检测（即按顺序使用多个独立检测）提供正式框架，以超越单次检测性能，提升诊断确定性。
• 量化预测值曲线的几何分割，并确定PPV与NPV曲线相交的患病率阈值，从而实现最优检测策略选择。

提出的方法

• 使用贝叶斯定理推导n次连续阳性检测的联合阳性预测值（PPV）：$\rho(\phi) = \frac{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i}{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i + (1-\phi) \prod_{i=1}^{n} (1-b_i)}$。
• 推导在一系列阴性结果中被阳性检测中断后的阴性预测值（NPV）：$\psi(\phi) = \frac{[(1-\phi)b_{n-}]\prod_{i=1}^{n-1}(1-b_i)}{[\phi(1-a_{n-})]\prod_{i=1}^{n-1}a_i + [(1-\phi)b_{n-}]\prod_{i=1}^{n-1}(1-b_i)}$。
• 推导在一系列阳性结果中被阴性检测中断后的阳性预测值：$\lambda(\phi) = \frac{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i)}{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i) + (1-\phi)(1-b_{n+}) \prod_{i=1}^{n-1}b_i}$。
• 引入使用定积分量化净诊断潜力（NDP）和阳性诊断潜力（PDP）的预测值曲线几何分割概念。
• 通过求解方程 $\frac{a\phi}{a\phi + (1-b)(1-\phi)} = \frac{b(1-\phi)}{\phi(1-a) + b(1-\phi)}$ 推导PPV与NPV曲线的交点 $\phi_i$，得到二次方程解：$\phi_i = \frac{-b^2 + b - \sqrt{ab(ab - a + 1 - b)}}{a^2 - b^2 - a + b}$。
• 提出一种处理敏感性等于特异性时退化情况的方法，通过轻微扰动特异性（$b \Rightarrow b + db$）避免除零错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 当多个独立筛查检测按顺序应用，特别是结果不一致时，阳性预测值如何进行数学建模？
• RQ2 在一系列阴性检测后被单次阳性检测中断后，其预测值是多少？该值如何依赖于检测特性？
• RQ3 在何种患病率下，阳性预测值曲线与阴性预测值曲线相交？该交点的临床意义是什么？
• RQ4 在低患病率条件下，顺序检测或正交检测如何提升诊断确定性，以克服单次检测不可靠的问题？
• RQ5 预测值曲线的几何分割是什么？如何使用积分对其进行量化，以评估诊断潜力？

主要发现

• n次连续阳性检测的联合阳性预测值为 $\rho(\phi) = \frac{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i}{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i + (1-\phi) \prod_{i=1}^{n} (1-b_i)}$，其值随阳性检测次数增加而提高。
• 当一系列阴性检测被阳性结果中断时，所得阳性预测值为 $\lambda(\phi) = \frac{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i)}{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i) + (1-\phi)(1-b_{n+}) \prod_{i=1}^{n-1}b_i}$，其值取决于先前阴性检测的数量及其性能。
• PPV与NPV曲线的交点 $\phi_i$ 通过求解由标准PPV与NPV公式等式导出的二次方程获得，结果为 $\phi_i = \frac{-b^2 + b - \sqrt{ab(ab - a + 1 - b)}}{a^2 - b^2 - a + b}$。
• 在低患病率环境中，即使单个检测的敏感性和特异性中等，顺序检测也能通过显著提高PPV，克服单次检测的局限性。
• 净诊断潜力（NDP）和阳性诊断潜力（PDP）通过定积分量化：$NDP = \int_0^{\phi_i} \sigma(\phi) d\phi - \int_0^{\phi_i} \rho(\phi) d\phi$ 和 $PDP = \int_{\phi_i}^1 \rho(\phi) d\phi - \int_{\phi_i}^1 \sigma(\phi) d\phi$，提供诊断效用的几何度量。
• 当敏感性与特异性相等时，交点公式分母为零；通过轻微扰动特异性（$b \Rightarrow b + db$）可避免该问题，获得 $\phi_i$ 的稳定估计。