[论文解读] Derivation of Lüscher's finite size formula for $Nπ$ and $NN$ system

N. Ishizuka|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文使用相对论量子场论，不依赖非相对论有效场论，推导了弹性 $N\pi$ 和 $NN$ 散射系统的 L"uscher 有限体积公式。该工作将 L"uscher 原始公式推广至包含自旋和角动量依赖性的核子-核子系统，为格点 QCD 计算散射相移和共振态（如 $\Delta(1232)$）提供了相对论一致的框架。

ABSTRACT

I present derivation of Lüscher's finite size formula for the elastic $Nπ$ and the $NN$ scattering system for several angular momenta from the relativistic quantum field theory.

研究动机与目标

• 将 L"uscher 的有限体积公式在完全相对论框架下推广至 $NN$ 散射系统，避免依赖非相对论有效场论。
• 为具有任意自旋和角动量的系统（包括 $N\pi$ 和 $NN$ 通道）提供一个通用的相对论推导。
• 建立一个一致的形式体系，用于从格点 QCD 模拟中计算散射相移和共振态（如 $\Delta(1232)$）。
• 通过与 Bernard 等人的有效场论方法的一致性，确保与现有非相对论结果的兼容性。

提出的方法

• 利用 LSZ 规约公式和相对论量子场论中的非壳散射振幅，推导无限体积下的两核子波函数。
• 应用包含球贝塞尔函数和诺伊曼函数的积分公式，提取 $|{\bf x}| > R$ 区域的渐近行为，以 $p = k$ 处的壳上值替换非壳振幅。
• 将散射振幅展开为 Wigner D 函数和总角动量 $J$ 的形式，将波函数分解为由 $J, M, \lambda$ 标记的分波。
• 通过部分波分量与格点动量本征态的重叠，构建有限体积矩阵 $\mathbf{M}(\Gamma; k)$，并利用 $\hat{L}(\nabla)$ 和 $\hat{R}(\nabla)$ 算符引入相对论旋量结构。
• 通过将无限体积波函数与格点本征态条件匹配，推导有限体积公式，得到涉及 $\mathbf{M}$、$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 矩阵的行列式条件。
• 将形式体系扩展至 $N\pi$ 系统，指出相同相对论框架适用（$s = 1/2$），并通过双覆盖立方群 ${}^2O$ 调整半整数 $J$ 的群论系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅使用相对论量子场论推导 $NN$ 系统的 L"uscher 有限体积公式，而不依赖非相对论近似？
• RQ2 对于 $NN$ 系统，无限体积中的散射波函数如何按总角动量 $J$ 和手征态分解？
• RQ3 相对论旋量结构和 Wigner D 函数如何进入 $NN$ 散射的有限体积公式？
• RQ4 该形式体系是否可推广至 $N\pi$ 系统？与非相对论有效场论结果相比有何异同？
• RQ5 在 $NN$ 系统中，不同 $J$ 和 $l$ 分波下，有限体积矩阵 $\mathbf{M}(\Gamma; k)$ 的显式形式是什么？

主要发现

• 基于相对论量子场论推导了 $NN$ 散射的有限体积公式，未假设非相对论动力学，确保与相对论运动学的一致性。
• 无限体积中的波函数表示为按 $J, M, \lambda$ 标记的分波之和，其系数包含壳上散射振幅和相对论旋量投影。
• 显式构建了 $J=1,3,4$ 分波的有限体积矩阵 $\mathbf{M}(\Gamma; k)$，其分量包含由相对论相互作用核推导出的 $W_{lm}$ 函数。
• 对于 $J=1$、$P=-1$ 态（与氘核相反宇称），矩阵 $\mathbf{M}$ 包含来自 $l=1,3,5$ 分波的贡献，且包含涉及 $W_{40}, W_{60}, W_{80}$ 的非平凡混合项。
• 所推导的公式与 Bernard 等人的非相对论有效场论结果一致，验证了该相对论方法在 $NN$ 和 $N\pi$ 系统中的适用性。
• 该形式体系可直接扩展至 $N\pi$ 系统，通过设定 $s=1/2$ 并调整半整数 $J$ 的群表示，使格点 QCD 能够研究 $N\pi$ 散射和 $\Delta(1232)$ 共振态。