[论文解读] Derivation of Nonlinear Schrödinger Equation

Xiang-Yao Wu, B. Zhang+6 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Nonlinear Photonic Systems参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过向薛定谔场的拉格朗日密度中添加高阶项，推导出非线性薛定谔方程，自然地得到了格罗斯-皮塔耶夫斯基方程和对数非线性薛定谔方程。关键结果是，由于约 Plank 量纲的抑制，非线性项极其微弱，这意味着在标准条件下，量子系统中的非线性可忽略不计。

ABSTRACT

We propose some nonlinear Schrödinger equations by adding some higher order terms to the Lagrangian density of Schrödinger field, and obtain the Gross-Pitaevskii (GP) equation and the logarithmic form equation naturally. In addition, we prove the coefficient of nonlinear term is very small, i.e., the nonlinearity of Schrödinger equation is weak.

研究动机与目标

• 在场论框架内，通过添加高阶拉格朗日项，探究非线性薛定谔方程的起源。
• 从一致的变分原理出发，推导格罗斯-皮塔耶夫斯基方程和对数非线性薛定谔方程。
• 评估此类方程中非线性的强度，并判断其是否具有可观测意义。
• 为弱非线性量子场建立理论基础，相关于凝聚态物理和非线性物理。

提出的方法

• 将形式为 $(\psi^*\psi)^m$ 的高阶项添加到标准薛定谔场拉格朗日密度中。
• 对修改后的拉格朗日密度应用欧拉-拉格朗日方程，推导相应的场方程。
• 使用量纲分析，将耦合常数表示为基本常数（$\hbar$，$m$，$c$）的函数，以评估非线性的大小。
• 将推导出的方程与已知形式进行比较：格罗斯-皮塔耶夫斯基方程（m=2）和对数形式（m=1 且含对数项）。
• 分析耦合常数的量纲，表明其受 $\hbar^3/(m^2c)$ 或 $\hbar^6/(m^5c^4)$ 的幂次抑制，表明非线性极弱。
• 验证在适当参数选择下，所得方程可还原为标准 GP 和对数形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过向薛定谔场拉格朗日密度中添加高阶项，从基本拉格朗日量推导出格罗斯-皮塔耶夫斯基方程？
• RQ2 对数非线性薛定谔方程是否能通过类似变分原理，结合对数相互作用项自然出现？
• RQ3 此类推导方程中非线性项的系数有多大？是否与观测约束一致？
• RQ4 当引入高阶项时，薛定谔方程中非线性的物理起源及其大小是什么？
• RQ5 所得非线性方程是否与量子场论和第二量子化原理一致？

主要发现

• 格罗斯-皮塔耶夫斯基方程作为广义非线性薛定谔方程在 m=2 时的特例，由高阶拉格朗日项 $(\psi^*\psi)^2$ 推导得出。
• 对数非线性薛定谔方程自然地源于与 $\psi^*\psi \ln(\psi^*\psi)$ 成比例的拉格朗日项。
• 对于 m=2 情况，耦合常数为 $e = g \hbar^3 / (m^2 c)$，其中 $g$ 为无量纲量，表明非线性项受 $\hbar^3 / (m^2 c)$ 抑制。
• 对于 m=3 情况，耦合常数为 $e = g' \hbar^6 / (m^5 c^4)$，通过更高阶的 $\hbar$ 幂次进一步抑制非线性。
• 非线性项极小——数量级为 $\hbar^3 / (m^2 c) \ll 1$——表明在物理系统中，薛定谔方程的非线性可忽略不计。
• 推导出的方程将已知模型（GP 和对数形式）作为特例包含在内，证实其与已建立的非线性量子场论的一致性。