[论文解读] Derivation of the Euler equations from many-body quantum mechanics

Bruno Nachtergaele, Horng‐Tzer Yau|ArXiv.org|Oct 19, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过量子熵方法和一种新颖的量子维里定理，从具有短程两体相互作用的多体量子系统精确的海森堡动力学推导出可压缩欧拉方程。关键结果表明，在流体动力学极限下，宏观压强直接来源于量子统计力学，无需半经典近似或中间的玻尔兹曼型描述。

ABSTRACT

The Heisenberg dynamics of the energy, momentum, and particle densities for fermions with short-range pair interactions is shown to converge to the compressible Euler equations in the hydrodynamic limit. The pressure function is given by the standard formula from quantum statistical mechanics with the two-body potential under consideration. Our derivation is based on a quantum version of the entropy method and a suitable quantum virial theorem. No intermediate description, such as a Boltzmann equation or semi-classical approximation, is used in our proof. We require some technical conditions on the dynamics, which can be considered as interesting open problems in their own right.

研究动机与目标

• 从具有短程两体相互作用的费米子的精确量子动力学严格推导出可压缩欧拉方程。
• 确立在流体动力学极限下，宏观压强由量子统计力学中的压强表达式给出。
• 在推导过程中避免使用中间描述（如玻尔兹曼方程）或半经典近似。
• 为多体量子系统中非对易可观测量发展一种量子版本的熵方法。
• 证明粒子统计性质和量子效应仅通过压强函数在欧拉极限中得以保留。

提出的方法

• 使用多体量子系统中能量、动量和粒子数密度算符的海森堡运动方程。
• 应用量子相对熵方法的变体，以控制真实量子态与局部吉布斯态之间的距离。
• 通过变分原理构造一个时间依赖的局部吉布斯态，使其与欧拉方程的解相匹配。
• 利用量子维里定理，将微观流与量子统计力学中的热力学压强联系起来。
• 使用相对熵的变分不等式，无需求绝对值地有界非对易可观测量的期望值。
• 引入截断函数和对易近似，以处理流体动力学极限中非对易性对局部守恒量的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够直接从多体量子系统的精确海森堡动力学推导出可压缩欧拉方程，而无需中间近似？
• RQ2 量子压强函数在流体动力学极限中如何出现？它与量子统计力学有何关系？
• RQ3 量子统计和非对易性在多大程度上影响宏观流体动力学行为？
• RQ4 相对熵方法能否扩展至多体量子系统中非对易可观测量，以控制收敛性？
• RQ5 量子维里定理在将微观流与宏观压强联系起来的过程中起什么作用？

主要发现

• 具有短程两体相互作用的多体费米子系统的海森堡动力学在流体动力学极限下收敛至可压缩欧拉方程。
• 欧拉方程中的压强函数精确由标准的量子统计力学公式给出，无需修正。
• 压强的量子修正在宏观尺度上依然存在，且是量子统计和非对易性影响宏观动力学的唯一途径。
• 该推导不依赖于玻尔兹曼方程或半经典近似，为从量子动力学到流体动力学提供了直接联系。
• 量子维里定理在推导中至关重要，用于将微观流与热力学压强联系起来。
• 通过使用变分不等式并仔细估计误差项，成功地将相对熵方法适配于非对易可观测量。