[论文解读] Derivation of the Schroedinger Equation and the Klein-Gordon Equation from First Principles

Gerhard Groessing|ArXiv.org|May 9, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过引入零点能作为基本场，仅以能量和动量的离散性（E=̂ω, p=̂k）为输入，从经典拉格朗日量推导出薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程。该框架在无需复数波函数的情况下重现了量子行为，包括海森堡不确定性原理，通过零点涨落带来的修正动能项，为量子力学建立了经典基础。

ABSTRACT

The Schroedinger- and Klein-Gordon equations are directly derived from classical Lagrangians. The only inputs are given by the discreteness of energy (E=hbar.w) and momentum (p=hbar.k), respectively, as well as the assumed existence of a space-pervading field of "zero-point energy" (E_0=hbar.w/2 per spatial dimension) associated to each particle of energy E. The latter leads to an additional kinetic energy term in the classical Lagrangian, which alone suffices to pass from classical to quantum mechanics. Moreover, Heisenberg's uncertainty relations are also derived within this framework, i.e., without referring to quantum mechanical or other complex-numbered functions.

研究动机与目标

• 从第一原理出发，通过经典力学推导出薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程。
• 表明当经典拉格朗日量受到零点能场的修正时，量子行为会自然涌现。
• 在不依赖复数量子振幅或波函数的前提下，推导出海森堡不确定性关系。
• 基于离散能量和动量以及普遍存在的零点场，为量子力学建立经典基础。
• 证明薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程可自然地从由于零点涨落引起的修正经典动能项中导出。

提出的方法

• 推导从一个附加了由空间弥漫的零点能场引起的额外动能项的修正经典拉格朗日量开始。
• 零点能被建模为每空间维度贡献 E_0 = ̂ω/2，成为粒子总能量的一部分。
• 引入离散能量 E = ̂ω 和动量 p = ̂k 作为基本输入，取代连续的经典假设。
• 修正后的拉格朗日量导出的运动方程在正则量子化后重现了薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程。
• 该框架直接从零点场对位置和动量涨落的影响推导出海森堡不确定性原理。
• 该方法避免使用复数值波函数，转而依赖实值经典场和随机动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不引入波函数或复数振幅的前提下，从经典拉格朗日量推导出薛定谔方程？
• RQ2 将零点能作为普遍场引入后，如何导致经典力学中量子行为的涌现？
• RQ3 能否使用相同的离散能量和动量原理以及零点场，推导出克莱因-戈尔登方程？
• RQ4 在多大程度上可以基于经典场动力学和零点涨落推导出海森堡不确定性原理？
• RQ5 是否可能仅通过经典力学和零点能背景，从第一原理重现量子力学的基本方程？

主要发现

• 薛定谔方程可从一个由零点能贡献修正的古典拉格朗日量推导得出，无需波函数。
• 克莱因-戈尔登方程也以相同框架推导得出，将该方法扩展至相对论性粒子。
• 海森堡不确定性原理作为零点场涨落的后果被重现，无需复数量子振幅。
• 零点能场在拉格朗日量中引入了额外的动能项，该作用完全负责从经典行为向量子行为的转变。
• 推导建立了离散能量和动量（E=̂ω, p=̂k）与经典设定中量子动力学涌现之间的直接联系。
• 该框架为量子力学提供了经典且实值的基础，使得薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程成为修正拉格朗日量的自然结果。