[论文解读] Derivation of the Time Dependent Gross Pitaevskii Equation with External Fields

Peter Pickl|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 7被引用 25

一句话总结

该论文通过一种新方法推导了含外场的时间依赖 Gross-Pitaevskii 方程，避免了 BBGKY 层次结构，建立了 N 体薛定谔动力学向非线性平均场方程的收敛性。该方法通过散射态控制微观关联，并证明了当相互作用按 $V_1,\mu(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ 缩放且 $\mu > 2$ 时，时间上一致的收敛性，将先前结果推广至一般外势和软相互作用。

ABSTRACT

Using a new method [9] it is possible to derive mean field equations from the microscopic N-body Schrodinger evolution of interacting particles without using BBGKY hierarchies. Recently this method was used to derive the Hartree equation for singular interactions [4] and the Gross Pitaevskii equation without positivity condition on the interaction [10] where one had to restrict the scaling behaviour of the interaction. In this paper more general scalings shall be considered assuming positivity of the interaction.

研究动机与目标

• 推导在时变外势作用下玻色-爱instein凝聚体的时间依赖 Gross-Pitaevskii 方程。
• 建立 N 体薛定谔动力学向非线性平均场方程的时间上一致收敛性。
• 通过允许相互作用缩放为 $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ 且 $\mu > 2$，推广先前结果，其中散射长度保持为 $N^{-1}$ 阶。
• 对于 $\beta = 1$，利用零能散射态控制波函数中的微观关联。
• 发展一种基于泛函的方法以界定向收敛速率，避免使用传统的 BBGKY 层次结构。

提出的方法

• 引入一个新的泛函 $\Gamma(\Psi, \phi)$ 以追踪 N 体波函数 $\Psi_t$ 与凝聚态 $\phi_t$ 之间的距离。
• 使用泛函层级 $\gamma_{j,k}$ 和 $\gamma'_{j,k}$ 控制由粒子关联和外场引起的误差项。
• 在 $x_2$-积分下应用 Hölder 不等式与 Sobolev 不等式，以界定向非局部相互作用项。
• 对 $\beta = 1$ 使用散射长度近似，其中相互作用势缩放使得零能散射态缩放为 $f^1_1(Nx)$。
• 对 $\Gamma(\Psi_t, \phi_t)$ 使用 Grønwall 类估计，证明在 $\phi_t$ 的衰减假设下，时间上一致收敛性。
• 通过改进对 $\|\nabla_1 q_1 \Psi\|$ 和 $\|\nabla_2 q_2 \Psi\|$ 的界，迭代调整泛函以控制 $\alpha'$ 项，尤其针对 $\beta = 1$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 BBGKY 层次结构的前提下，为一般外势推导时间依赖 Gross-Pitaevskii 方程？
• RQ2 对于软相互作用且 $\beta = 1$ 的情形，N 体波函数向凝聚态的收敛行为在时间上是否一致？
• RQ3 快速增长的耦合常数 $N^\mu$（$\mu > 2$）对 Gross-Pitaevskii 极限下的有效平均场有何影响？
• RQ4 当相互作用变得奇异（$\beta = 1$）或软（$\beta < 1$）时，如何控制 N 体波函数中的微观关联？
• RQ5 在凝聚态波函数 $\phi_t$ 满足适当衰减条件时，能否在时间上一致地界定向收敛速率？

主要发现

• 对于 $\beta = 1$ 且相互作用 $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ 且 $\mu > 2$ 的情形，有效平均场为 $2a|\phi_t|^2$，其中 $a$ 是 $V$ 的散射长度。
• 在 $\phi_t$ 的衰减条件下，论文证明了单粒子约化密度矩阵在 $N \to \infty$ 时以算子范数收敛至 $|\phi_t\rangle\langle\phi_t|$，且收敛是时间上一致的。
• 收敛速率被界为 $\Gamma(\Psi_t, \phi_t) \leq e^{\int_0^t (\|\phi_s\|_\infty + (\ln N)^{1/3}\|\nabla\phi_s\|_{6,\text{loc}} + \|\dot{A}_s\|_\infty) K(\phi_s) ds} (\Gamma(\Psi_0, \phi_0) + N^{-\eta})$，确保了时间上的一致控制。
• 对于 $\beta = 1$，该方法通过改进对 $\|\nabla_2 q_2 \Psi\|$ 的估计来控制 $\|\nabla_1 q_1 \Psi\|$，并使用第二次调整使 $\alpha'_2$ 可控。
• 泛函 $\Gamma$ 满足 $c\alpha(\Psi, \phi) - CN^{-\eta} \leq \Gamma(\Psi, \phi) \leq \alpha(\Psi, \phi) + CN^{-\eta}$，从而实现紧密的误差控制。
• 该方法可推广至 $0 < \beta < 1$ 和 $\beta = 1$ 的情形，其中 $\beta < 1$ 时的平均场为 $\|V\|_1 |\phi_t|^2$，与一阶 Born 近似一致。