[论文解读] Derivations for the even parts of modular Lie superalgebras $W$ and $S$ of Cartan type

Wende Liu, Yongzheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文确定了特征值 $p > 3$ 的域上，Cartan 型模李超代数 $W$ 和 $S$ 的偶部 $Ω$ 和 $Σ$ 的导代数与外导代数。通过使用典范环和分次结构，证明了外导代数是交换的或幂零的，并给出了明确的维数公式；并表明，对于 $S$，其偶部的外导代数与 $S$ 的外超导代数相等，当且仅当 $n$ 为偶数。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be the underlying base field of characteristic $p>3 $ and denote by $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}$ the even parts of the finite-dimensional generalized Witt Lie superalgebra $W$ and the special Lie superalgebra $S,$ respectively. We first give the generator sets of the Lie algebras $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}.$ Using certain properties of the canonical tori of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S},$ we then determine the derivation algebra of $\mathcal{W}$ and the derivation space of $\mathcal{S} $ to $\mathcal{W},$ where $\mathcal{W}$ is viewed as $\mathcal{S} $-module by means of the adjoint representation. As a result, we describe explicitly the derivation algebra of $\mathcal{S}.$ Furthermore, we prove that the outer derivation algebras of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S} $ are abelian Lie algebras or metabelian Lie algebras with explicit structure. In particular, we give the dimension formulae of the derivation algebras and outer derivation algebras of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}.$ Thus we may make a comparison between the even parts of the (outer) superderivation algebras of $W$ and $S$ and the (outer) derivation algebras of the even parts of $W$ and $S,$ respectively.

研究动机与目标

• 确定广义 Witt 李超代数 $W(m,n;\underline{t})$ 的偶部 $\mathcal{W}$ 的导代数。
• 计算 $\mathcal{S}$ 到 $\mathcal{W}$ 的导代数空间，其中 $\mathcal{W}$ 通过伴随表示作用于 $\mathcal{S}$。
• 描述特殊李超代数 $S(m,n;\underline{t})$ 的偶部 $\mathcal{S}$ 的完整导代数。
• 分类 $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{S}$ 的外导代数结构，表明其为交换或幂零。
• 比较 $S$ 的外超导代数与 $\mathcal{S}$ 的偶部的外导代数，确定二者相等的条件。

提出的方法

• 通过分析 $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{S}$ 的生成元集，研究其 $\mathbb{Z}$-分次结构，并阐明上层分量 $\mathcal{L}_{-1} \oplus \mathcal{L}_0$ 在控制导代数中的作用。
• 应用 $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{S}$ 中典范环的性质，将导代数模去内导代数后，化为在 $\mathcal{L}_{-1}$ 上消失的导代数。
• 利用散度映射 $\mathrm{div}: \mathcal{W} \to \mathrm{div}(\mathcal{W})$，识别出 $\ker(\mathrm{div}|_{\mathcal{W}})$ 为 $\overline{\mathcal{S}}$，即 $\mathcal{S}$ 的核心。
• 构造显式子代数 $\mathfrak{P}$ 和 $\mathcal{J}$，并利用在交换李代数 $V$ 上的半单自同态 $A$，当 $n$ 为偶数时，构建 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 的幂零结构。
• 利用同构关系如 $\widetilde{\mathcal{S}} \cong \overline{\mathcal{S}} \oplus \mathbb{F} \cdot \Gamma_{1'} \oplus \mathcal{J}$，分解导代数并计算维数。
• 应用 [8] 中关于超导代数的结果，比较 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ 与 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$，以确定二者同构的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Witt 李超代数 $W(m,n;\underline{t})$ 的偶部的导代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$ 的结构是什么？
• RQ2 导代数空间 $\mathrm{Der}(\mathcal{S}, \mathcal{W})$ 如何与 $\mathcal{S}$ 在 $\mathcal{W}$ 上的伴随表示相关联？
• RQ3 特殊李超代数 $S(m,n;\underline{t})$ 的偶部的导代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ 的显式结构是什么？
• RQ4 在什么条件下，$\mathcal{S}$ 的外导代数与 $S$ 的外超导代数相等？
• RQ5 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$、$\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{W})$、$\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ 和 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 的维数公式是什么？

主要发现

• 导代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$ 同构于 $\widetilde{\mathcal{W}}$，当 $n$ 为偶数时维数为 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} + 1$，当 $n$ 为奇数时维数为 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$。
• 外导代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{W})$ 为维数为 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} - 1$ 的交换代数（当 $n$ 为偶数），或维数为 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ 的交换代数（当 $n$ 为奇数）。
• 导代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ 同构于 $\widetilde{\mathcal{S}} = \overline{\mathcal{S}} \oplus \mathbb{F} \cdot \Gamma_{1'} \oplus \mathcal{J}$，当 $n$ 为偶数时，$\dim_{\mathbb{F}}(\overline{\mathcal{S}}) = (m+n-1)2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} + 1$；当 $n$ 为奇数时，$\dim_{\mathbb{F}}(\overline{\mathcal{S}}) = (m+n-1)2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$。
• 外导代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 为维数 $1 + \sum_{i\in Y_0} t_i - m$ 的交换代数，当 $n$ 为奇数时成立。
• 当 $n$ 为偶数时，$\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 同构于幂零李代数 $\mathcal{L}_{\mathcal{S}} = \mathbb{F} \cdot A \ltimes V$，其维数为 $1 + \sum_{i\in Y_0} t_i$，其中 $V$ 为维数 $\sum_{i\in Y_0} t_i$ 的交换李代数，$A$ 为具有指定特征子空间维数的半单自同态。
• 外超导代数 $S$ 与 $\mathcal{S}$ 的外导代数相等，当且仅当 $n$ 为偶数，如附注 5.2.6 所示。