[论文解读] Derivative-based global sensitivity measures and their link with Sobol sensitivity indices

Sergei Kucherenko, Shufang Song|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 5

一句话总结

本文建立了基于导数的全局敏感性度量（DGSM）与Sobol’总敏感性指数之间的理论联系，证明DGSM可为$S_i^{\text{tot}}$提供计算高效的下界和上界。该方法可实现计算成本极低的快速变量筛选与模型降维，通过蒙特卡洛或准蒙特卡洛积分结合算法微分计算导数，大多数情况下能准确对输入变量进行排序。

ABSTRACT

The variance-based method of Sobol sensitivity indices is very popular among practitioners due to its efficiency and easiness of interpretation. However, for high-dimensional models the direct application of this method can be very time consuming and prohibitively expensive to use. One of the alternative global sensitivity analysis methods known as the method of derivative based global sensitivity measures (DGSM) has recently become popular among practitioners. It has a link with the Morris screening method and Sobol sensitivity indices. DGSM are very easy to implement and evaluate numerically. The computational time required for numerical evaluation of DGSM is generally much lower than that for estimation of Sobol sensitivity indices. We present a survey of recent advances in DGSM and new results concerning new lower and upper bounds on the values of Sobol total sensitivity indices. Using these bounds it is possible in most cases to get a good practical estimation of the values of Sobol total sensitivity indices. Several examples are used to illustrate an application of DGSM.

研究动机与目标

• 使用基于导数的全局敏感性度量（DGSM）开发Sobol’总敏感性指数（$S_i^{\text{tot}}$）的计算高效边界。
• 降低高维模型方差基全局敏感性分析的计算负担。
• 以远少于直接计算Sobol’指数所需函数评估次数，实现$S_i^{\text{tot}}$的实用估计。
• 验证DGSM边界的有效性，确保在多种测试函数中能正确对输入变量进行排序。
• 展示DGSM在通过固定不重要变量实现模型简化的实用性。

提出的方法

• 基于偏导数的期望绝对值，推导$S_i^{\text{tot}}$的下界和上界。
• 使用蒙特卡洛（MC）或准蒙特卡洛（QMC）积分数值估计DGSM及其边界。
• 采用反向（伴随）模式的算法微分，以4–6倍原函数计算成本高效计算偏导数。
• 建立DGSM与Sobol’指数之间的理论联系，证明DGSM是$S_i^{\text{tot}}$的上界。
• 利用同一组导数评估结果，同时估计$S_i^{\text{tot}}$的下界（LB1, LB2）和上界（UB1, UB2）。
• 在多项式、乘积函数和Hartmann函数等基准函数上验证边界，测试函数具有不同输入分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 DGSM能否在显著降低计算成本的前提下，为Sobol’总敏感性指数提供可靠下界和上界？
• RQ2 与真实$S_i^{\text{tot}}$值相比，基于DGSM的边界在输入变量排序上的准确性如何？
• RQ3 DGSM在多大程度上可用于识别并固定不重要变量以实现模型简化？
• RQ4 在样本量变化时，DGSM边界的收敛行为与直接$S_i^{\text{tot}}$估计相比如何？
• RQ5 在不同类型的模型（如线性、乘积和非线性函数）中，这些边界表现如何？

主要发现

• 对于参数$a = [0,1,4.5,9,99,99,99,99]$的测试函数，下界LB2以及上界UB1和UB2能正确对所有输入变量按重要性排序。
• 比值$S_i^{\text{tot}} / \text{UB1} = \pi^2 / 48 \approx 0.204$，且$S_i^{\text{tot}} / \text{UB2} = 0.25$，表明UB2比UB1更紧密。
• 在Hartmann函数中，对大多数输入变量有LB1 < LB2 < $S_i$，而对$x_2$则有LB1 > $S_i$ > LB2，表明边界的依赖变量行为。
• LB2的收敛速度高于$S_i^{\text{tot}}$和UB1，且在相同样本数下RMSE更低。
• 计算所有边界需$N_F^{\text{LB}*} = N(3d+1)$次函数评估，而$S_i^{\text{tot}}$和UB仅需$N(d+1)$次，表明在高维问题中边界方法更具效率。
• 较小的上界意味着较小的$S_i^{\text{tot}}$，可实现对不重要变量的早期识别，从而支持模型降维。