[论文解读] Derivative pricing with virtual arbitrage

Kirill Ilinski, A. S. Stepanenko|ArXiv.org|Feb 3, 1999

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文提出了一种改进的衍生品定价模型，通过将瞬时虚拟套利机会的收益建模为具有指数衰减的随机过程，从而引入了这些机会。推导出一个推广的积分微分方程，该方程推广了Black-Scholes模型，并在市场纠正速度极快或无套利的极限情况下，恢复为原始的Black-Scholes方程。推导出欧洲看涨和看跌期权的显式解析修正项，其中一阶修正项取决于套利衰减速率和波动率。

ABSTRACT

In this paper we derive an effective equation for derivative pricing which accounts for the presence of virtual arbitrage opportunities and their elimination by the market. We model the arbitrage return by a stochastic process and find an equation for the average derivative price. This is an integro-differential equation which, in the absence of the virtual arbitrage or for an infinitely fast market reaction, reduces to the Black-Scholes equation. Explicit formulas are obtained for European call and put vanilla options.

研究动机与目标

• 为解决现有衍生品定价模型中假设严格无套利条件的局限性，尽管实证证据表明存在短暂存在的虚拟套利机会。
• 开发一个可处理的解析框架，将金融市场中局部套利机会的有限寿命和衰减特性纳入模型。
• 推导出一个修正的定价方程，当虚拟套利不存在或被瞬时消除时，该方程退化为Black-Scholes方程。
• 在虚拟套利影响下，为欧洲标准期权价格提供显式解析公式，包括一阶修正项。

提出的方法

• 通过无风险投资组合方法重新推导Black-Scholes方程，以建立符号和基准假设。
• 将虚拟套利的瞬时收益建模为一个随机过程，其衰减速率为λ，反映市场参与者套利活动的影响。
• 引入一个核函数K(t, t′)，用于捕捉过去套利事件对当前衍生品价格的影响，该函数由衰减动力学推导得出。
• 使用微扰理论，以Σ²/λ作为小参数，推导出对Black-Scholes解的一阶修正项。
• 通过将修正项表示为Black-Scholes算子的格林函数与核K的积分形式，求解得到的积分微分方程。
• 通过时间积分获得欧洲看涨和看跌期权价格的显式公式，其依赖于衰减速率λ和波动率σ。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖严格无套利假设的前提下，一致地将瞬时虚拟套利机会建模于衍生品定价框架中？
• RQ2 有限寿命的套利机会对欧洲期权价格有何影响，特别是在短期内？
• RQ3 市场纠正虚拟套利的速度（由λ表征）如何影响价格偏离Black-Scholes价格的程度？
• RQ4 当套利存在但随时间衰减时，能否推导出可处理的解析解？
• RQ5 由于虚拟套利导致的Black-Scholes价格的一阶修正项的形式是什么？其如何依赖于剩余到期时间和波动率？

主要发现

• 所提出的模型导出一个积分微分方程，该方程推广了Black-Scholes方程，并在无套利或市场反应无限快的极限下还原为原始方程。
• 对欧洲期权的Black-Scholes价格的一阶修正项被显式推导出，其依赖于套利衰减速率λ、波动率σ和无风险利率r。
• 对于欧洲看涨期权，修正项C₁(t,y)与e^(-r(T-t))成正比，并涉及对时间的积分，其中加权因子为正态累积分布函数N[d₂]，并乘以指数衰减因子。
• 对于欧洲看跌期权，修正项P₁(t,y)具有与C₁相同的函数形式，但符号为负，且累积分布因子为N[-d₂]。
• 在套利纠正速度极快的极限下（γ → ∞），修正项简化为时间积分，其形式为单个指数衰减因子e^(-(λ + α²/(2σ²))τ)。
• 当λ → ∞（瞬时纠正）或Σ² → 0（无套利）时，修正项消失，确认了与标准Black-Scholes模型的一致性。