[论文解读] Derivatives of Eisenstein series and arithmetic geometry

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Apr 16, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 18

一句话总结

本文提出了关于签名 (n,2) 的希米达流形上 codimension-2 循环的算术生成函数与 Siegel Eisenstein 系数导数之间的一个猜想关系，将已知的 n=2 情况推广。通过导出交点理论与特殊函数，该文在签名 (1,1) 或 (0,2) 的非奇异 T 情况下建立了恒等式，并通过 p-进统一化与特殊函数证明了相关情形，目前正就秩为 1 的奇异 T 情况开展工作。

ABSTRACT

We describe connections between the Fourier coefficients of derivatives of Eisenstein series and invariants from the arithmetic geometry of the Shimura varieties $M$ associated to rational quadratic forms $(V,Q)$ of signature $(n,2)$. In the case $n=1$, we define generating series $\hatϕ_1(τ)$ for 1-cycles (resp. $\hatϕ_2(τ)$ for 0-cycles) on the arithmetic surface $\Cal M$ associated to a Shimura curve over $\Bbb Q$. These series are related to the second term in the Laurent expansion of an Eisenstein series of weight $\frac32$ and genus 1 (resp. genus 2) at the Siegel--Weil point, and these relations can be seen as examples of an `arithmetic' Siegel--Weil formula. Some partial results and conjectures for higher dimensional cases are also discussed.

研究动机与目标

• 将算术循环生成函数理论从签名 (2,2) 的情形推广至更高维的签名 (n,2) 的希米达流形。
• 在权重 32 的 Siegel Eisenstein 系数在 s=0 处的导数与 codimension-2 循环的生成函数之间建立一个猜想恒等式。
• 通过算术 Chow 群中的循环类，将 Eisenstein 系数的导数框架推广至高维算术几何。
• 验证该猜想恒等式在 Sym₂(ℤ) 中各种对称矩阵 T 上的情形，包括正则、非正则以及签名 (1,1) 或 (0,2) 的非奇异情形。
• 将现有结果扩展至当前方法受限的 p=2 情况，并通过与 Rapoport 和 Yang 的合作，完成对秩为 1 的奇异 T 的证明。

提出的方法

• 将算术高度配对 $ \text{Zh}(T,v) $ 定义为垂直循环 $ Z(t_1) $ 与 $ Z(t_2) $ 的结构层的导出张量积的 Euler-Poincaré 示性数，取值于 $ \text{CH}^2(\tilde{M}) \otimes \mathbb{R} $。
• 对于签名 (1,1) 或 (0,2) 的非奇异 T，定义 $ \Lambda(\mathbf{x}) $ 为 Hermitian 域 D 上 Green 函数的 *-积的积分，该函数在 O(2) 作用下不变。
• 通过 $ \Gamma $-轨道上满足 $ Q(\mathbf{x}) = T $ 的 $ \mathbf{x} \in L^2 $ 对的求和，构造 $ \text{Zh}(T,v) $，利用 $ \Lambda(\mathbf{x}a) $ 在正交变换下的不变性。
• 在正则情形（p∤2D(B)）下使用 Kitaoka 的局部表示密度公式 $ \alpha_p(S,T) $，在非正则情形下使用 Yang 对一般 S 的推广。
• 在 p-进统一化设定下，应用 Gross 与 Keating 关于 p-分除群之间同态的形变结果，计算 $ \chi(Z(T), \mathcal{O}_{Z(t_1)} \otimes^L \mathcal{O}_{Z(t_2)}) $。
• 通过 Shimura 理论，将函数 $ \Lambda(\mathbf{x}) $ 与矩阵参数的合流超几何函数在 s=0 处的导数联系起来，利用定理 3 的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将签名 (n,2) 的希米达流形上 codimension-2 算术循环的生成函数 $ \hat{\phi}_2(\tau) $ 识别为权重 32 的 Siegel Eisenstein 系数在 s=0 处的导数？
• RQ2 算术高度配对 $ \text{Zh}(T,v) $ 在正交群 O(2) 作用下的行为如何？该性质如何确保其定义的良定性？
• RQ3 Eisenstein 系数的傅里叶系数与算术交点数 $ \chi(Z(T), \mathcal{O}_{Z(t_1)} \otimes^L \mathcal{O}_{Z(t_2)}) $ 之间的精确关系是什么？
• RQ4 在非正则情形下，p≠2 的限制在多大程度上可以被移除？Kitaoka 与 Yang 的结果能否推广至 p=2？
• RQ5 该猜想恒等式能否扩展至秩为 1 的奇异 T？p-分除群的形变理论在此情形中起什么作用？

主要发现

• 对于签名 (1,1) 或 (0,2) 的非奇异 T，猜想恒等式 $ \mathcal{E}'_2(\tau,0;D(B)) \overset{?}{=} \hat{\phi}_2(\tau) $ 成立，且 $ \text{Zh}(T,v) $ 与 Eisenstein 系数的傅里叶系数匹配。
• 对于满足 $ p \nmid 2D(B) $ 的正则 T，傅里叶系数 $ \mathcal{E}'_{2,T}(\tau,0;D(B)) $ 通过 Kitaoka 的局部表示密度公式计算得出。
• 对于 $ p \neq 2 $ 的非正则 T，Euler-Poincaré 示性数 $ \chi(Z(T), \mathcal{O}_{Z(t_1)} \otimes^L \mathcal{O}_{Z(t_2)}) $ 通过 p-进统一化计算，依赖于文献 \cite{krinvent} 的结果。
• 签名 (0,2) 的情形通过 Shimura 理论将 $ \Lambda(\mathbf{x}) $ 与矩阵参数的合流超几何函数在 s=0 处的导数联系起来，从而得证。
• $ \Lambda(\mathbf{x} \cdot k) = \Lambda(\mathbf{x}) $ 对所有 $ k \in O(2) $ 的不变性性质，是确保 $ \text{Zh}(T,v) $ 与满足 $ v = a^t a $ 的 $ a $ 的选择无关的关键。
• 与 Rapoport 和 Yang 的合作中，对秩为 1 的奇异 T 的猜想验证已接近完成，方法为利用高度 2、维度 1 的 $ \overline{\mathbb{F}}_p $ 上 p-分除群之间同态的形变理论。