[论文解读] Derivatives of Eisenstein series and Faltings heights

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文建立了算术上 Heegner 循环在算术 Shimura 曲线上的算术高度与半整权 Eisenstein 系数在 s = 1/2 处的二阶导数之间的精确联系，该点为函数方程中的非中心点。论文证明，算术高度的生成级数等于 SL₂(ℤ) 上权为 3/2 的 Eisenstein 系数在 s = 1/2 处的导数，加上一个常数平移，揭示了在 CM 椭圆曲面上 Faltings 高度的洛朗展开第二项的新型几何解释。

ABSTRACT

We prove a relation between a generating series for the heights of Heegner cycles on the arithmetic surface associated to a Shimura curve and the second term in the Laurent expansion at s=1/2 of an Eisenstein series of weight 3/2 for SL(2). On the geometric side, a typical coefficient of the generating series involves the Faltings heights of abelian surfaces isogenous to a product of CM elliptic curves, an archimedean contribution, and contributions from vertical components in the fibers of bad reduction. On the analytic side, these terms arise via the derivatives of local Whittaker functions. It should be noted that s=1/2 is not the central point for the functional equation of the Eisenstein series in question. Moreover, the first term of the Laurent expansion at s=1/2 coincides with the generating function for the degrees of the Heegner cycles on the generic fiber, and, in particular, does not vanish.

研究动机与目标

• 建立算术 Shimura 曲线上 Heegner 循环的算术高度与半整权 Eisenstein 系数洛朗展开第二项之间的对应关系。
• 证明算术高度的生成级数源于函数方程中非中心点 s = 1/2 处的 Eisenstein 系数导数。
• 通过 CM 椭圆曲面的 Faltings 高度，对洛朗展开在 s = 1/2 处非零首项提供几何解释。
• 将已知的傅里叶系数与算术不变量之间的对应关系推广至洛朗展开首项非零的情形。

提出的方法

• 在与 Shimura 曲线相关联的算术曲面 M 上定义算术 Chow 类 ˆZ(m,v)，结合代数循环 Z(m) 与 Green 函数 Ξ(m,v)。
• 利用 M 上的万有阿贝尔簇上的全纯 1-形式，为 Hodge 线丛 ω 赋予一个典范度量 ||·||。
• 通过 Gillet–Soulé 高度配对，构造高度生成级数 φheight(τ) = ∑⟨ˆZ(m,v), ˆω⟩qm。
• 构造 SL₂(ℤ) 上权为 3/2 的 Eisenstein 系数族 E(τ,s;D)，其中 D = D(B) 为四元数代数 B 的判别式。
• 在 s = 1/2 处计算 E(τ,s;D(B)) 的洛朗展开，并将二阶导数 E′(τ,1/2;D(B)) 识别为算术高度的生成级数。
• 通过傅里叶系数的直接计算（涉及类数、L-函数与对数项）证明主恒等式 φheight(τ) = E′(τ,1/2;D(B)) + c。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数方程的非中心点 s = 1/2 处，半整权 Eisenstein 系数洛朗展开第二项的算术意义是什么？
• RQ2 算术 Shimura 曲线上 Heegner 循环的高度如何与 Eisenstein 系数的傅里叶系数相关联？
• RQ3 在 s = 1/2 处，Eisenstein 系数洛朗展开的非零首项能否通过 CM 椭圆曲面的 Faltings 高度进行几何解释？
• RQ4 是否存在一种普遍模式，将 Shimura 簇的算术不变量与 Eisenstein 系数的洛朗展开联系起来，即使首项非零？

主要发现

• 算术 Shimura 曲线 M 上 Heegner 循环的算术高度生成级数等于 Eisenstein 系数 E(τ,s;D(B)) 在 s = 1/2 处的导数，至多相差一个常数平移。
• 当 m > 0 时，E′(τ,1/2;D(B)) 中 qm 的系数由一个复杂表达式给出，涉及 δ(d;D(B))、H₀(m;D(B))、log(d)、L′(1,χd)/L(1,χd) 以及与整除或不整除 D(B) 的素数相关的对数项。
• 该系数表达式中的首项与 CM 椭圆曲线 Ed × Ed 的 Faltings 高度一致，其中 h∗Fal(Ed × Ed) = 1/2 log(d) + L′(1,χd)/L(1,χd) − 1/2 log(π) − 1/2γ。
• 当 m < 0 时，导数中 qm 的系数非零，涉及 r > 1 上的积分，通过函数 Ψℓ(s,z) 表达，并对高度配对有贡献。
• 证明了归一化 Eisenstein 系数的函数方程 E(τ,s;D) = E(τ,−s;D)，其依赖于 L-函数的函数方程与 Gamma 函数的加倍公式。
• 证明了 E(τ,s;D) 的傅里叶展开常数项与 GD(s) + GD(−s) 成比例，其中 GD(s) 涉及完备 L-函数及在整除 D 的素数处的局部因子。