[论文解读] Derived categories of toric varieties III

Yūjirō Kawamata|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文在 торической几何 中为有限阿贝尔商 singularities 建立了导出 McKay 对应关系，证明了商叠 $[\mathbf{A}^n/G]$ 的导出范畴 admits 一个半正交分解，分解为商 $\mathbf{A}^n/G$ 的子概形的导出范畴和一个相对极小模型。该工作将先前关于 торической 极小模型程序映射的结果推广到全局框架，表明 toric 对之间的 $K$-等价可分解为 flops 的序列，并且导出范畴由相对例外族生成。

ABSTRACT

We prove derived McKay correspondence in special cases and the decomposition of toric K-equivalence into flops.

研究动机与目标

• 将导出 McKay 对应关系扩展到二维任意有限阿贝尔商 singularities。
• 为 торической 极小模型程序中的导出范畴建立一个超越局部双有理映射的全局框架。
• 证明 toric 对之间的 $K$-等价可分解为 flops 的序列。
• 证明 торической 商叠 $[\mathbf{A}^n/G]$ 的导出范畴由相对例外族生成。

提出的方法

• 使用与 торической 对相关的光滑 Deligne-Mumford 叠的导出范畴的半正交分解。
• 通过 торической 有理映射，将相对版本的导出 McKay 对应关系应用于阿贝尔商 singularities。
• 通过纤维积构造，构建叠的导出范畴之间的全纯嵌入函子 $\Phi = p_*q^*$。
• 将定理 1 应用于相对情形，将 Bondal-Orlov 和 Bridgeland 的结果推广到 торической 设置。
• 使用典范除子不等式 $K_X + B \geq K_Y + C$ 确定导出范畴嵌入的方向。
• 运用等变几何和商叠 $[\mathbf{A}^n/G]$ 分析商 singularities 的导出范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于二维中所有有限阿贝尔商 singularities，导出 McKay 对应关系是否成立？
• RQ2 在 торической 设置中，toric 对之间的 $K$-等价是否可分解为 flops 的序列？
• RQ3 商叠 $[\mathbf{A}^n/G]$ 的导出范畴如何分解为子概形和极小模型？
• RQ4 在 $K$-等价下，toric 对的导出范畴具有何种结构？
• RQ5 toric 代数簇的导出范畴是否可由一个相对例外族生成？

主要发现

• 对于任意有限阿贝尔商 singularities，导出 McKay 对应关系成立：$D^b(\text{coh}([\mathbf{A}/G]))$ 允许一个半正交分解，分解为 $D^b(\text{coh}(\tilde{Z}_i))$ 和 $D^b(\text{coh}(\tilde{Y}))$，其中 $Z_i \subset X$ 为子概形，$Y$ 为相对极小模型。
• 任意在 toric 对之间定义的、且为 $K$-等价的正规双有理态射，均可分解为 flops 的序列，将 Bridgeland 的结果推广至 toric 情形。
• 对于一个投影 toric 映射 $f: X \to Z$，导出范畴 $D^b(\text{coh}(\tilde{X}))$ 由一个相对例外族生成，即它允许一个半正交分解，其分量为 $D^b(\text{coh}(\tilde{Z}_i))$ 和 $D^b(\text{coh}(\tilde{Y}))$ 的像。
• 当 $K_X + B = K_Y + C$ 时，全纯嵌入函子 $\Phi: D^b(\text{coh}(\tilde{Y})) \to D^b(\text{coh}(\tilde{X}))$ 成为一个等价，将 flops 等价结果推广至 toric $K$-等价情形。
• 导出范畴嵌入的方向与典范除子不等式的方向一致，而非与态射方向一致，尤其在除子收缩情形下成立。
• 导出范畴嵌入的半正交补由满足特定挠条件的边界除子上的层生成，通过 $p_*q^*$ 函子和格商构造而成。