[论文解读] Derived critical loci I - Basics

Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 14

一句话总结

本文提出了在导出代数几何中导出临界点集的基础框架，确立了其典范的 $(-1)$-辛结构，以及相关的 $BV_{\to\to}$、$G_{\to\to}$ 和 $E_1$-形变结构。研究证明，导出临界点集——尤其是辛流形中拉格朗日子簇的导出交点——自然携带一个 $(-1)$-辛形式，从而可通过 $E_{-1}$-张量结构对它们的导出范畴实现量化。

ABSTRACT

We will quickly explore the derived geometry of zero loci of sections of vector bundles, with particular emphasis on derived critical loci. In particular we will single out many of the derived geometric structures carried by derived critical loci: the homotopy Batalin-Vilkovisky structure, the action of the 2-monoid of the self-intersection of the zero section, and the derived symplectic structure of degree -1, and show how this structure exists, more generally, on derived lagrangian intersections inside a symplectic manifold. These are just applications of a small part of a much larger project - joint with Pantev, Toën and Vaquié - investigating quantization of derived moduli spaces.

研究动机与目标

• 建立导出临界点集所携带的几何与同伦结构，尤其在拉格朗日子簇的导出交点背景下。
• 定义并刻画由闭1-形式的导出零点集导出的导出临界点集上典范的 $(-1)$-辛结构。
• 将这些结构与更高阶代数不变量（如 $BV_{\to\to}$、$G_{\to\to}$ 和周期性导出范畴的 $E_1$-形变）联系起来。
• 为导出临界点集上的全局几何结构提供路线图，以恢复 Costello-Gwilliam 的形式模空间设定。
• 证明对称障碍理论可作为导出扩张上 $(-1)$-辛形式的上拉，从而将其与 Hochschild 上同调和循环上同调联系起来。

提出的方法

• 使用精致的 Koszul cdga $\mathrm{K}(R;P) = S \otimes_R \bigwedge^\bullet P^\vee$，其微分由截面 $s \in P$ 的收缩诱导，为 $\mathbf{cdga}_S$ 中的 $R$ 提供一个纤维上同调的解析解。
• 应用导出零点集构造，将导出临界点集 $\mathrm{Crit}^h(f) = Z^h(df)$ 定义为 $T^*X$ 中 $df$ 的图像与零截面的导出交点。
• 通过由 $Y$ 上的辛形式 $\omega_0$ 诱导的 $\mathbb{T}_Z \wedge \mathbb{T}_Z$ 上零映射的自同伦，构造导出交点 $Z = L_1 \times_X^h L_2$ 上的典范 $(-1)$-辛形式 $\omega$。
• 证明 $(-1)$-辛形式 $\omega$ 可上拉至 $\mathrm{HC}_3^-(Z)$，并证明其闭且非退化，从而确立其为导出辛结构。
• 通过 $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{L}_Z) \to \mathcal{O}_Z[1]$ 障碍理论，建立 $BV_{\infty}$、$G_{\infty}$ 和 $2$-幺半群作用在导出临界点集上的相容性。
• 依赖于 $\mathbf{dSt}_k$ 中导出栈的形式语言，以及来自 $[HAG\text{-}II]$ 的模型范畴结构，所有构造均在特征为零的域 $k$ 上定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为光滑概族上函数的导出临界点集赋予典范的 $(-1)$-辛结构？
• RQ2 自交 $2$-幺半群 $Z^h(0)^{\bullet\bullet}$ 在作用于导出临界点集时扮演何种角色？它与 $BV_{\infty}$ 和 $G_{\infty}$ 结构有何关联？
• RQ3 每个对称障碍理论是否均可作为底层栈的导出扩张上 $(-1)$-辛结构的截断？
• RQ4 导出辛结构 $L_1 \times_X^h L_2$ 与导出范畴 $D^{\mathbb{Z}/2}(Z)$ 的量化之间有何关系？
• RQ5 Hochschild 上同调类 $[\omega] \in \mathrm{HH}_3(Z)$ 与其在 $\mathrm{HC}_3^-(Z)$ 上的上拉之间的精确关系为何？这对形式的闭性有何含义？

主要发现

• 光滑概族 $X$ 上函数 $f$ 的导出临界点集 $\mathrm{Crit}^h(f)$ 携带一个典范的 $(-1)$-辛结构，其作为 $T^*X$ 中 $df$ 的图像与零截面的导出交点而实现。
• 该 $(-1)$-辛结构诱导了周期性导出范畴 $D^{\mathbb{Z}/2}(\mathrm{Crit}^h(f))$ 的典范形变，作为 $E_{-1}$-张量微分分次范畴。
• 在 $Z = L_1 \times_X^h L_2$ 上的 $(-1)$-辛形式 $\omega$ 是闭且非退化的，并可典范上拉至 $\mathrm{HC}_3^-(Z)$，确认其为导出辛形式。
• $BV_{\infty}$、$G_{\infty}$ 和 $2$-幺半群作用在导出临界点集上是相容的，其中 $2$-幺半群通过零截面的自交作用实现。
• 每个在 Deligne-Mumford 栈上的对称障碍理论均可作为导出扩张上 $(-1)$-辛结构的截断，暗示其具有更深层的几何根源。
• 在仿射情形下，类 $[\omega] \in \mathrm{HH}_3(Z)$ 可在 $\mathrm{HC}_3^-(Z)$ 中显式计算，确认其具有 $B\mathbb{G}_a$-等变性与闭性。