[论文解读] Derived Fundamental Groups for Tate Motives

Markus Spitzweck|arXiv (Cornell University)|May 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 7

一句话总结

该论文在域上光滑连通概形上为 Tate 模动机构造了导出基本群概形，利用导出形式语言，通过完美表示的仿射概形导出群概形来建模有理数和整数系数的混合 Tate 动机。主要贡献是在 Q 上无条件构造，以及在弱化 Beilinson-Soulé 范性假设下在 Z 上条件构造，该假设对数域成立，并在有理 motivic 基本群上给出整数结构。

ABSTRACT

We construct derived fundamental group schemes for Tate motives over connected smooth schemes over fields. We show that there exists a pro affine derived group scheme over the rationals such that its category of perfect representations models the triangulated category of rational mixed Tate motives. Under a hypothesis which is weaker than an integral version of the Beilinson-Soule vanishing conjecture we show that there is an affine derived group scheme over the integers such that its perfect representations model Tate motives with integral coefficients. The hypothesis is for example fulfilled for number fields. This generalizes previous non-derived constructions of fundamental group schemes for Tate motives with rational coefficients.

研究动机与目标

• 为域上光滑连通概形上的有理混合 Tate 动机提供基本群概形的无条件构造。
• 通过弱于 Beilinson-Soulé 猜想的范性假设，将该构造扩展到整数系数。
• 通过引入导出群概形和拟概形对象，推广先前非导出的构造，以建模完整的 Tate 动机三角范畴。
• 建立 motivic 基本群的几何与代数框架，尤其在数域上捕捉整数结构。
• 统一不同系数系统（包括有限系数和几何系数）下，Tate 动机作为导出群概形的完美表示的描述。

提出的方法

• 在 Q 或 Z 上的增强 Adams 分次 dga 上使用 Bar 构造，生成一个余单纯导出 Hopf 代数，构成导出群概形。
• 应用增强的 Èchét 解析，构建一个余单纯代数，其完美模模型化 Tate 动机。
• 将导出张量积 $\mathbb{Q} \otimes^\mathbf{L}_A \mathbb{Q}$ 作为 Èchét 解析的第一阶段，以定义底层代数结构。
• 依赖于弱化的整数范性假设——弱于整数 Beilinson-Soulé 范性猜想——以确保在 Z 上存在仿射导出群概形。
• 利用 $E_\infty$-代数上模范畴的表示定理，将 Tate 动机的三角范畴实现为导出群概形的完美表示范畴。
• 应用拟仿射导出群概形理论，当整数范性假设不成立时，建模完整的三角范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为域上光滑连通概形上的有理混合 Tate 动机无条件构造导出基本群概形？
• RQ2 在何种弱化上同调条件下，此类构造可扩展至整数系数？
• RQ3 导出群概形构造与有理情形下的经典 motivic 基本群有何关系？
• RQ4 不同基概形的导出基本群之间映射的核具有何种几何解释？
• RQ5 导出群概形构造能否应用于 Beilinson 动机及其他具有有理系数的 motivic 范畴？

主要发现

• 存在一个无条件构造的拟仿射导出群概形，其完美表示范畴模型化有理混合 Tate 动机的三角范畴。
• 在弱化整数范性假设下，存在一个在 Z 上的仿射导出群概形，其完美表示模型化具有整数系数的 Tate 动机。
• 该假设对数域成立，因此构造在这些域上自然地给出了有理 motivic 基本群的整数结构。
• 对于有限系数（如在 $\mathbb{F}_p$ 上），通过 Bloch-Kato 猜想，构造适用，得到在 $R'$ 上的导出基本群，满足 $\mathsf{DMT}_{\mathrm{gm}}(k)_{R'} \simeq \mathrm{Perf}(B^\bullet)$。
• 将 $\mathbf{P}^1_k \setminus \{0,1,\infty\}$ 与 $k$ 的导出基本群之间映射的核识别为一个与基环同构于 $\mathbb{G}_m$ 的几何基本群。
• 在数域的 $S$-整数或 $\mathbf{P}^1_{{\mathcal{O}}_S} \setminus \{0,1,\infty\}$ 情形下，导出基本群集中在度 0，恢复了先前工作中已知的 motivic 基本群。