[论文解读] Derived Hochschild functors over commutative adic algebras

Liran Shaul|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文利用弱拟正则性与DG-仿射形式概形，为诺特基环上的拟幂级数代数发展了导出Hochschild同调与上同调的完整版与挠版本。关键结果表明，当基环为诺特环且代数在其上本质上有限型时，这些导出函子在诺特范畴内具有显式公式，且在基为域的情况下恢复经典同构。

ABSTRACT

Let $\k$ be a commutative ring, and let $(A,\mfrak{a})$ be an adic ring which is a $\k$-algebra. We study complete and torsion versions of the derived Hochschild homology and cohomology functors of $A$ over $\k$. To do this, we first establish weak proregularity of certain ideals in flat base changes of noetherian rings. Next, we develop a theory of DG-affine formal schemes, extending the Greenlees-May duality and the MGM equivalence to this setting. Finally, we define complete and torsion derived Hochschild homology and cohomology functors in this setting, and show that if $\k$ is noetherian and $(A,\mfrak{a})$ is essentially of finite type (in the adic sense) over $\k$, then there are formulas to compute them that stay inside the noetherian category. In the classical case, where $\k$ is a field, we deduce that topological Hochschild cohomology and discrete Hochschild cohomology are isomorphic.

研究动机与目标

• 将导出Hochschild同调与上同调推广至交换环上拟幂级数代数的设定。
• 解决当 $\Bbbk \to A$ 不平坦时，$A \otimes_{\Bbbk} A$ 通常非诺特性的问题，尤其在拟幂级数设定下。
• 在适当条件下，定义保持在诺特范畴内的导出Hochschild函子的完整版与挠版本。
• 在DG-仿射形式概形的背景下建立对偶性与MGM等价。
• 证明当基为域时，拓扑Hochschild上同调与离散Hochschild上同调同构。

提出的方法

• 证明当 $\Bbbk$ 为诺特环且 $(A,\mathfrak{a})$ 为 $\Bbbk$ 上本质上有限型时，$A \otimes_{\Bbbk} A$ 中的理想 $\mathfrak{a}^e = \mathfrak{a} \otimes_{\Bbbk} A + A \otimes_{\Bbbk} \mathfrak{a}$ 为弱拟正则的。
• 发展DG-仿射形式概形的理论，以将Greenlees-May对偶性与MGM等价性推广至该设定。
• 将完整导出Hochschild同调定义为 $\mathrm{L}\Lambda_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$，取值于 $\mathfrak{a}$-完备导出范畴。
• 将挠导出Hochschild同调定义为 $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$，取值于 $\mathfrak{a}$-挠导出范畴。
• 利用K-内射解析与导出完备化函子，将挠函子与完备环 $\widehat{A \otimes_{\Bbbk} A}$ 上的导出挠函子联系起来。
• 在弱拟正则性假设下，建立同构 $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-)) \cong A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Lambda_I(\widetilde{A} \otimes_{\Bbbk} \widetilde{A})} \mathrm{R}\Gamma_I(\mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出Hochschild函子能否在诺特基环上的拟幂级数代数上被有意义地推广？
• RQ2 在何种条件下，$A \otimes_{\Bbbk} A$ 的导出挠或完备化保持有限性并允许显式计算？
• RQ3 在DG-仿射形式概形设定下，是否存在类似于Greenlees-May对偶性的对偶性或等价关系？
• RQ4 在域上的形式幂级数环上，导出Hochschild上同调是否与拓扑版本同构？
• RQ5 挠与完整导出Hochschild函子能否在诺特范畴内通过公式计算？

主要发现

• 当 $\Bbbk$ 为诺特环且 $(A,\mathfrak{a})$ 为 $\Bbbk$ 上本质上有限型时，$\mathfrak{a}^e \subseteq A \otimes_{\Bbbk} A$ 为弱拟正则，使得Greenlees-May理论得以应用。
• 挠导出Hochschild同调函子具有显式公式：$\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-)) \cong A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Lambda_I(\widetilde{A} \otimes_{\Bbbk} \widetilde{A})} \mathrm{R}\Gamma_I(\mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$。
• 当 $\Bbbk$ 为域时，导出Hochschild上同调与拓扑Hochschild上同调同构，恢复了拓扑设定下的经典结果。
• 完整导出Hochschild同调函子定义为 $\mathrm{L}\Lambda_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$，取值于 $\mathfrak{a}$-完备导出范畴。
• 由于弱拟正则性，$A \otimes_{\Bbbk} A$ 上的导出挠与完备化函子行为良好，可通过无限对偶Koszul复形实现显式计算。
• 发展了DG-仿射形式概形的理论，以将MGM等价性与Greenlees-May对偶性推广至拟幂级数设定。