[论文解读] Derived non-archimedean analytic spaces

Mauro Porta, Tony Yue Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文通过使用结构化拓扑斯和预几何构造派生 $k$-解析空间，引入了非阿基米德解析几何的派生版本，推广了经典的刚性空间与贝克里奇空间。它建立了基础性质：普通 $k$-解析空间的嵌入的全忠实性、纤维积的存在性，以及通过 $n$-局部离散对象将高阶 Deligne-Mumford 群概赋值嵌入派生解析空间的全忠实性。

ABSTRACT

We propose a derived version of non-archimedean analytic geometry. Intuitively, a derived non-archimedean analytic space consists of an ordinary non-archimedean analytic space equipped with a sheaf of derived rings. Such a naive definition turns out to be insufficient. In this paper, we resort to the theory of pregeometries and structured topoi introduced by Jacob Lurie. We prove the following three fundamental properties of derived non-archimedean analytic spaces: (1) The category of ordinary non-archimedean analytic spaces embeds fully faithfully into the $\infty$-category of derived non-archimedean analytic spaces. (2) The $\infty$-category of derived non-archimedean analytic spaces admits fiber products. (3) The $\infty$-category of higher non-archimedean analytic Deligne-Mumford stacks embeds fully faithfully into the $\infty$-category of derived non-archimedean analytic spaces. The essential image of this embedding is spanned by $n$-localic discrete derived non-archimedean analytic spaces. We will further develop the theory of derived non-archimedean analytic geometry in our subsequent works. Our motivations mainly come from intersection theory, enumerative geometry and mirror symmetry.

研究动机与目标

• 开发非阿基米德解析几何的派生增强，用于交点理论、枚举几何与镜像对称的应用。
• 将派生 $k$-解析空间定义为具有派生环预几何的结构化 $ ext{ extsterling}$-拓扑斯。
• 建立基础范畴性质：经典 $k$-解析空间嵌入的全忠实性、纤维积的存在性，以及在派生设定下对高阶 Deligne-Mumford 群概的刻画。
• 为非阿基米德几何中的虚拟基本类提供框架，这对枚举几何中的模问题至关重要。

提出的方法

• 使用雅各布·卢里关于预几何与结构化拓扑斯的理论，将派生非阿基米德解析空间定义为带有派生环层的 $ ext{ extsterling}$-拓扑斯。
• 应用 $ ext{t}_0$-截断函子，将派生空间与其底层经典解析空间联系起来。
• 采用 $ au_{ ext{ét}}$-下降与Čech余单纯列技术，证明层的表示性以及在派生设定下的下降封闭性。
• 利用子范畴 $m{ riangle}_{s, ext{≤q}2}^{ ext{op}}$ 在 $m{ riangle}_s^{ ext{op}}$ 中的 $1$-共终性，构造 $ ext{Sh}( ext{Afd}_k, au_{ ext{ét}})$ 拓扑斯中的余极限。
• 应用卢里《高阶拓扑理论》中的结果，证明派生空间的 $ ext{t}_0$-截断可由普通 $k$-解析空间表示。
• 构建派生解析空间与高阶解析群概之间的比较函子，通过下降与表示性证明其全忠实性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将派生代数几何技术适配到非阿基米德解析几何中，以处理非横截相交？
• RQ2 定义派生非阿基米德解析空间的正确范畴框架是什么，以同时推广刚性空间与贝克里奇空间？
• RQ3 在 $ ext{ extsterling}$-范畴中，派生 $k$-解析空间的纤维积是否存在，其行为如何？
• RQ4 哪些高阶解析群概可作为嵌入到派生解析空间中的像？
• RQ5 在非阿基米德设定下，派生 $k$-解析空间与高阶 Deligne-Mumford 群概之间的确切关系是什么？

主要发现

• 普通 $k$-解析空间的范畴全忠实嵌入到派生 $k$-解析空间的 $ ext{ extsterling}$-范畴中。
• 派生 $k$-解析空间的 $ ext{ extsterling}$-范畴具有纤维积，确保了良好的范畴行为。
• 高阶非阿基米德解析 Deligne-Mumford 群概的 $ ext{ extsterling}$-范畴全忠实嵌入到派生 $k$-解析空间的 $ ext{ extsterling}$-范畴中。
• 该嵌入的Essential image恰好由 $n$-局部离散的派生 $k$-解析空间构成。
• 派生 $k$-仿射空间的范畴在 $ au_{ ext{ét}}$-下降下封闭，确保了通过 étale 覆盖表示层。
• 派生 $k$-解析空间的 $ ext{t}_0$-截断可由普通 $k$-解析空间表示，从而将派生几何与经典几何联系起来。