[论文解读] Derived Picard groups of preprojective algebras of Dynkin type

Yuya Mizuno|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文利用外尔群中的约化表达式和扩展预投射代数，构造了Dynkin型预投射代数的一类基本双侧倾斜复形。建立了导出Picard群与折叠图的 braid 群之间的同构，证明了所有倾斜复形均可作为这些生成元的导出张量积构造，并完全确定了类型 A 和 D 的导出Picard群。

ABSTRACT

In this paper, we study two-sided tilting complexes of preprojective algebras of Dynkin type. We construct the most fundamental class of two-sided tilting complexes, which has a group structure by derived tensor products and induces a group of auto-equivalences of the derived category. We show that the group structure of the two-sided tilting complexes is isomorphic to the braid group of the corresponding folded graph. Moreover we show that these two-sided tilting complexes induce tilting mutation and any tilting complex is given as the derived tensor products of them. Using these results, we determine the derived Picard group of preprojective algebras for type $A$ and $D$.

研究动机与目标

• 通过扩展预投币代数和外尔群元素，构造 Dynkin 型预投币代数的一类基本双侧倾斜复形。
• 建立导出Picard群与折叠图的 braid 群之间的群同构。
• 证明所有倾斜复形均可作为这些基本双侧倾斜复形的导出张量积构造。
• 利用所构建的框架，显式确定类型 A 和 D 的导出Picard群。
• 阐明倾斜突变与导出张量积结构在生成完整导出Picard群中的作用。

提出的方法

• 通过导出张量积 $ T_i = \tau^{\text{≥-1}}(\text{Λ} \mathop{\text{L}}\to_{\tilde{Λ}} \tilde{I}_{t_i} \mathop{\text{L}}\to_{\tilde{Λ}} \text{Λ}) $ 定义双侧倾斜复形 $ T_i $，其中 $ \tilde{I}_{t_i} $ 是外尔群中约化表达式 $ t_i $ 对应的倾斜模。
• 利用 Nakayama 自同态 $ \iota $，根据 $ \Delta $ 中的边结构，将 $ t_i $ 定义为 $ s_i $、$ s_i s_{\iota(i)} s_i $ 或 $ s_i s_{\iota(i)} $。
• 在导出张量积 $ \mathop{{\otimes}^\mathbf{L}}\nolimits_\Lambda $ 下构造群 $ \langle T_i \mid i \in \Delta_0^f \rangle $，形成双侧倾斜复形的群。
• 证明映射 $ a \mapsto T_a = T_{i_1}^{\epsilon_{i_1}} \mathop{{\otimes}^\mathbf{L}}\nolimits \cdots \mathop{{\otimes}^\mathbf{L}}\nolimits T_{i_k}^{\epsilon_{i_k}} $ 给出从 braid 群 $ B_{\Delta^f} $ 到 $ \langle T_i \rangle $ 的群同构。
• 利用该同构证明每个倾斜复形均可如此构造，且导出Picard群由这些 $ T_i $ 生成。
• 通过分析自同态并利用因式分解技术与显式提升 $ \tilde{u}, \tilde{v} \in \text{Aut}(\tilde{\Lambda}) $，完成对类型 A 和 D 的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 Dynkin 型预投币代数构造一类基本双侧倾斜复形？
• RQ2 Dynkin 型预投币代数的导出Picard群的群结构是什么？
• RQ3 倾斜突变与双侧倾斜复形的导出张量积结构有何关联？
• RQ4 能否利用此构造完全确定类型 A 和 D 的导出Picard群？
• RQ5 折叠图的 braid 群与导出Picard群之间存在何种关系？

主要发现

• 类型 A 的预投币代数的导出Picard群同构于相应折叠图的 braid 群。
• 对于类型 D，导出Picard群也同构于折叠图的 braid 群，且该同构通过所构造的双侧倾斜复形实现。
• 在 $ \mathsf{D}^b(\mathsf{mod}\Lambda) $ 中的所有基本倾斜复形均可作为基本双侧倾斜复形 $ T_i $ 的导出张量积构造，证实它们生成了导出Picard群。
• 双侧倾斜复形的群同构于 braid 群 $ B_{\Delta^f} $，其乘法由 $ \Lambda $ 上的导出张量积给出。
• 通过 $ \sigma^{\geq -1}(\Lambda \mathop{{\otimes}^\mathbf{L}}\nolimits_{\tilde{\Lambda}} \tilde{I}_{t_i} \mathop{{\otimes}^\mathbf{L}}\nolimits_{\tilde{\Lambda}} \Lambda) $ 构造的 $ T_i $，对每个 $ i \in \Delta_0^f $ 均给出一个良定义的双侧倾斜复形。
• 预投币代数的自同态群可提升至扩展预投币代数，从而实现自同态的因式分解，使其保持导出Picard群的结构。