[论文解读] Descent of Deligne groupoids

Vladimir Hinich|ArXiv.org|Jun 11, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 20

一句话总结

本文证明了将非负整数分次的微分格罗滕迪克代数（通过多项式微分形式上的Maurer-Cartan方程）赋予一个Kan单纯集的函子，与整体空间函子在同伦意义下可交换。这证明了Schechtman的猜想，表明由微分格罗滕迪克代数层控制的全局形变问题由其导出整体截面控制，推广了先前结果至非光滑情形。

ABSTRACT

To any non-negatively graded dg Lie algebra $g$ over a field $k$ of characteristic zero we assign a functor $Σ_g: art/k o Kan$ from the category of commutative local artinian $k$-algebras with the residue field $k$ to the category of Kan simplicial sets. There is a natural homotopy equivalence between $Σ_g$ and the Deligne groupoid corresponding to $g$. The main result of the paper claims that the functor $Σ$ commutes up to homotopy with the "total space" functors which assign a dg Lie algebra to a cosimplicial dg Lie algebra and a simplicial set to a cosimplicial simplicial set. This proves a conjecture of Schechtman which implies that if a deformation problem is described ``locally'' by a sheaf of dg Lie algebras $g$ on a topological space $X$ then the global deformation problem is described by the homotopy Lie algebra $RΓ(X,g)$.

研究动机与目标

• 证明Schechtman的猜想：Deligne单纯集函子在同伦意义下与整体空间函子可交换。
• 确立由微分格罗滕迪克代数层控制的全局形变问题由导出整体截面 $\mathbf{R}\Gamma(X,\mathfrak{g})$ 控制。
• 将[HS2]中的定理8.3推广至非形式光滑的情形。
• 为形式形变理论中的下降提供一个同伦框架，使用微分格罗滕迪克代数。
• 证明将一个微分格罗滕迪克代数映射到一个Kan单纯集的函子 $\Sigma_{\mathfrak{g}}$ 同伦等价于Deligne单纯集 $\cal C_{\mathfrak{g}}$。

提出的方法

• 将一个幂零微分格罗滕迪克代数 $\mathfrak{g}$ 的'内容' $\Sigma(\mathfrak{g})$ 定义为 $\Omega_\bullet \otimes \mathfrak{g}$ 上Maurer-Cartan方程的解集，构成一个Kan单纯集。
• 利用单纯交换微分格罗滕迪克代数 $\Omega_\bullet$ 构造一个单纯微分格罗滕迪克代数 $\mathfrak{g}_\bullet = \Omega_\bullet \otimes \mathfrak{g}$。
• 通过一个自然映射证明 $\Sigma(\mathfrak{g})$ 同伦等价于Deligne单纯集 $\cal C_{\mathfrak{g}}$。
• 应用双单纯微分格罗滕迪克代数中纤维化为可缩纤维化的准则（命题3.4.8），证明整体空间函子保持同伦类型。
• 利用Künneth公式及多项式微分形式的性质，验证纤维化的正则性与满射性条件。
• 利用余上同调空间函子在余单纯单纯集上与 $\Sigma$-函子在同伦意义下可交换的事实，确立主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 将微分格罗滕迪克代数 $\mathfrak{g}$ 映射到Kan单纯集的函子 $\Sigma_{\mathfrak{g}}$ 是否在同伦意义下与整体空间函子可交换？
• RQ2 由空间 $X$ 上微分格罗滕迪克代数层 $\mathfrak{g}$ 控制的全局形变问题是否可由导出整体截面 $\mathbf{R}\Gamma(X,\mathfrak{g})$ 描述？
• RQ3 定理8.3（[HS2]）中关于普遍形式形变与格罗滕迪克同调关系的结论，在无形式光滑性假设下是否仍成立？
• RQ4 与覆盖 $\{U_i\}$ 相关的 $\Gamma(U_i, \mathfrak{g})$ 的Deligne单纯集是否同伦等价于下降数据的单纯集？
• RQ5 微分格罗滕迪克代数的'内容' $\Sigma(\mathfrak{g})$ 是否同伦等价于经典的Deligne单纯集 $\cal C_{\mathfrak{g}}$？

主要发现

• 函子 $\Sigma_{\mathfrak{g}}$ 同伦等价于Deligne单纯集 $\cal C_{\mathfrak{g}}$，为形变函子提供了单纯模型。
• 主定理确立了 $\Sigma$ 与整体空间函子在同伦意义下可交换，从而证明了Schechtman的猜想。
• 全局形变单纯集 $F_i$ 自然同伦等价于 $\mathbf{R}\Gamma^{\operatorname{Lie}}(X,\mathfrak{g}_i)$ 关联的Deligne单纯集，将[HS2]的结果推广至非光滑情形。
• 推论5.2表明，即使在无形式光滑性假设下，$R^* \cong H^\mathrm{Lie}_0(\mathbf{R}\Gamma^{\mathrm{Lie}}(X,\mathfrak{g}_i))$ 依然成立。
• 证明依赖于通过同调代数技巧与Künneth公式，证明某个双单纯微分格罗滕迪克代数之间的映射是可缩纤维化。
• 该构造为使用微分格罗滕迪克代数的形变问题提供了同伦下降理论，统一了局部与全局描述。