[论文解读] Design by Measure and Conquer, A Faster Exact Algorithm for Dominating Set

Johan M. M. van Rooij, Hans L. Bodlaender|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 51

一句话总结

本文提出了一种名为‘基于度量与征服的设计’的新方法，该方法利用数学优化，通过迭代改进精确算法来求解支配集问题。通过使用拟凸规划分析分支与规约规则，该方法生成了更快速的算法——在多项式空间下达到 O(1.5134^n) 时间复杂度，在指数空间下达到 O(1.5063^n) 时间复杂度，创下精确支配集计算的最快速度新纪录。

ABSTRACT

The measure and conquer approach has proven to be a powerful tool to analyse exact algorithms for combinatorial problems, like Dominating Set and Independent Set. In this paper, we propose to use measure and conquer also as a tool in the design of algorithms. In an iterative process, we can obtain a series of branch and reduce algorithms. A mathematical analysis of an algorithm in the series with measure and conquer results in a quasiconvex programming problem. The solution by computer to this problem not only gives a bound on the running time, but also can give a new reduction rule, thus giving a new, possibly faster algorithm. This makes design by measure and conquer a form of computer aided algorithm design. When we apply the methodology to a Set Cover modelling of the Dominating Set problem, we obtain the currently fastest known exact algorithms for Dominating Set: an algorithm that uses $O(1.5134^n)$ time and polynomial space, and an algorithm that uses $O(1.5063^n)$ time.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于设计求解 NP-难问题（如支配集问题）的更快精确算法。
• 不仅将度量与征服用于分析，还将其用于主动的算法设计，利用优化方法指导规则改进。
• 实现比以往已知算法更优的支配集问题运行时间界限。
• 探索度量与征服是否能够自动化发现规约规则与分支规则。

提出的方法

• 将度量与征服应用于支配集问题的集合覆盖形式化，采用基于权重向量的非标准大小度量。
• 将算法设计过程形式化为拟凸规划问题，其解可指导规约与分支规则的改进。
• 通过分析最坏情况实例，迭代优化算法，调整权重与规则以最小化时间界限。
• 利用计算机辅助优化推导出新的规约规则，以收紧运行时间界限。
• 在每一步中重构规约规则，去除冗余项，并提升分支步骤中的规模缩减效果。
• 在一系列算法变体上测试该方法，从一个平凡算法开始，逐步推进至更快速的版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 度量与征服方法是否不仅能用于分析，还能用于设计更快的精确算法？
• RQ2 在给定度量下，使运行时间界限最小化的最优规约与分支规则集合是什么？
• RQ3 拟凸规划的解是否能指导发现新的、有效的规约规则？
• RQ4 在当前分支与度量选择下，该方法是否已达到算法速度的理论极限？
• RQ5 该方法能否推广至支配集以外的其他 NP-难问题？

主要发现

• 该方法生成了目前已知在 O(1.5134^n) 时间复杂度与多项式空间下最快的支配集精确算法。
• 采用指数空间的变体实现了 O(1.5063^n) 时间复杂度，进一步提升了当前技术水平。
• 该算法在某种意义上是最优的，因为通过标准规约规则进一步改进将需要 NP-难决策，表明在当前设计约束下存在固有极限。
• 拟凸规划的解不仅界定了运行时间，还直接提示了新的规约规则，展示了该方法的自增强特性。
• 该过程在无法通过改变度量或分支规则实现进一步改进时停止，表明此设计路径存在理论极限。
• 基于元素频率与集合大小的子情况分析仅带来微小收益，且在指数空间变体中因接近零的权重而被抵消。