[论文解读] Designing Output Sensitive Algorithms for Subgraph Enumeration

Yixin Cao|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 50被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，用于为遗传图类中的最大诱导子图设计输出敏感的枚举算法。通过利用无报复路径（retaliation-free paths）和 t-受限问题变体，作者在关键图类（如区间图、阈值图和有界度图）中建立了连通与非连通变体的多项式延迟算法，为已知结果提供了更简单的证明，并通过解映射统一了先前的方法。

ABSTRACT

Given a graph $G$, the maximal induced subgraphs problem asks to enumerate all maximal induced subgraphs of $G$ that belong to a certain hereditary graph class. While its optimization version, known as the minimum vertex deletion problem in literature, has been intensively studied, enumeration algorithms are known for a few simple graph classes, e.g., independent sets, cliques, and forests, until very recently [Conte and Uno, STOC 2019]. There is also a connected variation of this problem, where one is concerned with only those induced subgraphs that are connected. We introduce two new approaches, which enable us to develop algorithms that solve both variations for a number of important graph classes. A general technique that has been proved very powerful in enumeration algorithms is to build a solution map, i.e., a multiple digraph on all the solutions of the problem, and the key of this approach is to make the solution map strongly connected, so that a simple traversal of the solution map solves the problem. We introduce retaliation-free paths to certificate strong connectedness of the solution map we build. Generalizing the idea of Cohen, Kimelfeld, and Sagiv [JCSS 2008], we introduce the $t$-restricted version, $t$ being a positive integer, of the maximal (connected) induced subgraphs problem, and show that it is equivalent to the original problem in terms of solvability in incremental polynomial time. Moreover, we give reductions between the two variations, so that it suffices to solve one of the variations for each class we study. Our work also leads to direct and simpler proofs of several important known results.

研究动机与目标

• 为重要遗传图类中的最大诱导子图问题设计高效且输出敏感的枚举算法。
• 解决最大诱导子图问题的标准版本和连通版本。
• 通过基于解映射和强连通性的新理论框架，统一并简化现有结果。
• 在增量多项式时间内建立 t-受限问题与原始枚举问题之间的等价性。
• 为子图枚举领域中若干已知结果提供直接且更简单的证明。

提出的方法

• 构建一个解映射，即一个有向多重图，其中节点表示最大诱导子图，弧表示后继关系。
• 定义一个后继函数：对每个解 S，通过添加一个不在 S 中的顶点 v，并在 S ∪ {v} 上求解受限子问题，生成新解。
• 使用‘无报复路径’（即避免环且确保向目标解前进的路径）来证明解映射的强连通性。
• 引入问题的 t-受限版本（t ≥ 1），以实现增量多项式时间可解性，并证明其与原始问题等价。
• 使用基于度量的论证（例如，与目标解缺失元素的数量）证明：每个解都有一个更接近参考解的后继。
• 利用 Cohen 等人 [20] 的结果：若输入受限问题具有多项式时间可解性，则可实现多项式延迟枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为一大类遗传图类中的最大诱导子图问题设计多项式延迟的枚举算法？
• RQ2 问题的 t-受限变体如何用于实现增量多项式时间枚举？
• RQ3 图类的哪些结构特性可确保解映射通过无报复路径实现强连通性？
• RQ4 最大诱导子图问题的连通与非连通变体能否相互约化，以支持高效的算法设计？
• RQ5 所提出的框架能否为子图枚举领域中的已知结果提供更简单且更具普遍性的证明？

主要发现

• 对于区间图、平凡完美图、拆分图、阈值图、团图、完全二分图以及 d-度有界图，最大诱导 P 子图问题及其连通变体均可实现多项式延迟求解。
• 对于无轮图、单位区间图、块图、3-叶幂图，以及具有有限禁止诱导子图特征的任意图类，问题可在增量多项式时间内求解。
• 拆分图类具有 CKS 性质，且任意图中最大诱导拆分子图的数量至多为 O(n²)，从而支持高效枚举。
• 伪拆分图类也具有 CKS 性质，其最大诱导伪拆分子图的数量至多为 O(n⁴)，这是由团与独立集的结构约束所决定的。
• 对于最大度为 d（固定 d）的图，最大诱导子图的数量至多为 O(d²d nᵈ)，该值在 n 上为多项式，因此可实现多项式延迟枚举。
• t-受限问题版本在增量多项式时间可解性方面与原始问题等价，从而支持统一的算法设计方法。