[论文解读] Designing Tractable Piecewise Affine Policies for Multi-Stage Adjustable Robust Optimization

Simon Thomä, Grit Walther+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Advanced Control Systems Optimization参考文献 62被引用 4

一句话总结

本文提出了一种适用于具有非负右端项不确定性的多阶段调整鲁棒优化（ARO）的可处理分段仿射策略。通过构建新型主导不确定集并利用顶点解的凸组合，作者实现了通过线性规划的高效求解，获得了较强的近似界，并且计算速度显著快于仿射策略，同时保持或提升了解的质量。

ABSTRACT

We study piecewise affine policies for multi-stage adjustable robust optimization (ARO) problems with non-negative right-hand side uncertainty. First, we construct new dominating uncertainty sets and show how a multi-stage ARO problem can be solved efficiently with a linear program when uncertainty is replaced by these new sets. We then demonstrate how solutions for this alternative problem can be transformed into solutions for the original problem. By carefully choosing the dominating sets, we prove strong approximation bounds for our policies and extend many previously best-known bounds for the two-staged problem variant to its multi-stage counterpart. Moreover, the new bounds are - to the best of our knowledge - the first bounds shown for the general multi-stage ARO problem considered. We extensively compare our policies to other policies from the literature and prove relative performance guarantees. In two numerical experiments, we identify beneficial and disadvantageous properties for different policies and present effective adjustments to tackle the most critical disadvantages of our policies. Overall, the experiments show that our piecewise affine policies can be computed by orders of magnitude faster than affine policies, while often yielding comparable or even better results.

研究动机与目标

• 解决具有非负右端项不确定性的多阶段调整鲁棒优化（ARO）的计算不可行性问题。
• 设计计算高效的策略，以在多阶段设置中保持强近似保证。
• 将两阶段 ARO 的近似界扩展至一般多阶段问题，而此前该问题尚无相关界。
• 通过利用顶点解的凸组合，克服不确定集划分方法中指数级增长的缺陷。
• 证明分段仿射策略的计算速度可比仿射策略快多个数量级，同时实现相当或更优的性能。

提出的方法

• 构建新的主导不确定集，使多阶段 ARO 问题可重述为线性规划问题。
• 通过使用断点和凸组合，将原始不确定集空间非预期地映射到缩放后的空间。
• 将分段仿射策略定义为顶点解的凸组合，其参数由不确定性的各分量决定。
• 利用不确定集定义中紧约束的性质，确保在所有不确定实现下均存在有效凸组合。
• 通过不确定集空间的重参数化，将主导不确定集中的解转换回原始问题。
• 在数值实验中，应用高效的超球面和预算不确定集采样技术，以验证性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非负右端项不确定性的多阶段 ARO 设计可处理的分段仿射策略？
• RQ2 在一般多阶段设置下，此类策略的近似界可证明为何种程度？
• RQ3 与现有仿射和分段仿射策略相比，这些策略在计算速度和解质量方面表现如何？
• RQ4 所提出的方法能否将两阶段 ARO 的近似界扩展至多阶段情形？
• RQ5 在实际应用中，可通过何种调整来缓解所提策略的关键缺点？

主要发现

• 所提出的分段仿射策略的计算速度可比仿射策略快多个数量级，同时实现相当或更优的解质量。
• 该方法为一般多阶段 ARO 问题实现了强近似界，这是该设置下的首次此类界。
• 作者证明了来自主导不确定集的解可被转换为原始问题的有效解，并保证性能。
• 通过在缩放后的不确定集上构造顶点解的凸组合，该方法实现了通过线性规划的高效求解。
• 数值实验表明，该策略在关键性能维度上优于或匹配其他策略，且可通过有效调整缓解已识别的弱点。
• 超球面和预算不确定集的采样方法效率高，在数值验证中具有高接受率。