[论文解读] Designs and codes in affine geometry

Jens Zumbrägel|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Cooperative Communication and Network Coding被引用 1

一句话总结

本文引入仿射几何中的仿射设计与码作为组合设计q-类比的新框架，扩展了射影q-类比方法。它证明了仿射斯坦纳系统（如F_q上的S(2,3,7)）的存在性，提出了一种基于度量的码构造方法，利用仿射多项式，并表明仿射几何中的小交集码能够纠正随机网络编码中的删除错误，在某些情况下相比射影对应物具有更优的参数。

ABSTRACT

Classical designs and their (projective) q-analogs can both be viewed as designs in matroids, using the matroid of all subsets of a set and the matroid of linearly independent subsets of a vector space, respectively. Another natural matroid is given by the point sets in general position of an affine space, leading to the concept of an affine design. Accordingly, a t-(n, k, $\lambda$) affine design of order q is a collection B of (k-1)-dimensional spaces in the affine geometry A = AG(n-1, q) such that each (t-1)-dimensional space in A is contained in exactly $\lambda$ spaces of B. In the case $\lambda$ = 1, as usual, one also refers to an affine Steiner system S(t, k, n). In this work we examine the relationship between the affine and the projective q-analogs of designs. The existence of affine Steiner systems with various parameters is shown, including the affine q-analog S(2, 3, 7) of the Fano plane. Moreover, we consider various distances in matroids and geometries, and we discuss the application of codes in affine geometry for error-control in a random network coding scenario.

研究动机与目标

• 开发一种基于仿射几何而非射影几何的新框架，用于组合设计的q-类比。
• 建立仿射斯坦纳系统（包括Fano平面的仿射q-类比S(2,3,7)）的存在性。
• 研究仿射几何中的度量结构与码构造，以实现随机网络编码中的错误控制。
• 比较仿射码与其射影类比在大小和删除纠错能力等方面的性能与参数。

提出的方法

• 将仿射设计形式化为AG(n−1,q)中(k−1)-平面的集合，使得每个(t−1)-平面恰好包含在其中λ个中。
• 利用拟阵理论——特别是完备拟阵设计——其中相同秩的平面大小相等，统一射影与仿射设计框架。
• 提出一种基于F_q-线性子空间U ⊆ F_q^m上仿射多项式g|U的图的码构造方法，其中g ∈ Lt（次数小于q^{t−2}的仿射多项式）。
• 为仿射几何中的平面定义度量d(E,F) = r(E) + r(F) − 2r(E ∩ F)，并证明其支持删除纠错。
• 将[14]中的对抗性删除纠错框架应用于小交集码，推导出其删除纠错能力为e = k − t。
• 证明所构造的码C包含q^{mt}个元素，并形成一个部分S(t,k,n)斯坦纳系统，其中对于不同的X,Y ∈ C，有r(X ∩ Y) < t。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射斯坦纳系统的q-类比是否存在？若存在，其参数为何？
• RQ2 在网络编码背景下，仿射几何的度量与码理论性质与射影几何相比如何？
• RQ3 仿射几何中的小交集码能否纠正删除错误？其最大删除纠错能力是多少？
• RQ4 通过多项式图构造的仿射码的大小与结构如何？与射影子空间码相比如何？
• RQ5 是否存在对子空间距离度量在仿射几何中的自然推广，以支持错误控制？

主要发现

• Fano平面的仿射q-类比S(2,3,7)存在，为仿射斯坦纳系统提供了新的非平凡例子。
• 通过仿射多项式图构造的小交集码在AG(n−1,q)中生成大小为q^{mt}的码，其中n = ℓ + m + 1且k = ℓ + 1。
• 当t=3, m=ℓ=3, q=2时，该构造生成一个包含512个码字的部分S(3,4,7)斯坦纳系统，位于AG(6,2)，优于类似参数下已知的最佳射影子空间码。
• 相同构造还生成一个包含64个码字的部分S(2,4,7)斯坦纳系统，且根据命题4.5，存在一个包含72个码字的完整S(2,4,7)斯坦纳系统。
• 该码能够纠正最多e = k − t次删除，展示了其在删除鲁棒网络编码中的实际应用价值。
• 仿射度量d(E,F) = r(E) + r(F) − 2r(E ∩ F)不满足三角不等式，但通过∆-差异框架仍可实现删除纠错。