[论文解读] Desingularization of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Advanced Mathematical Identities被引用 9

一句话总结

本文提出了一类广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数的去奇异化过程，通过将其表示为普通多重zeta函数的有限和，将这些函数转化为整函数。关键结果是去奇异化后的函数为整函数，并可显式计算其特殊值，尤其针对Euler-Zagier型双zeta函数，同时将此前关于p进多重L函数和多对数函数的结果推广至非正指数的情形。

ABSTRACT

We study analytic properties of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type. First, as a special type of them, we consider multiple zeta-functions of generalized Euler-Zagier-Lerch type and investigate their analytic properties which were already announced in our previous paper. Next we give `desingularization' of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type, which include those of generalized Euler-Zagier-Lerch type, the Mordell-Tornheim type, and so on. As a result, the desingularized multiple zeta-function turns out to be an entire function and can be expressed as a finite sum of ordinary multiple zeta-functions of the same type. As applications, we explicitly compute special values of desingularized double zeta-functions of Euler-Zagier type. We also extend our previous results concerning a relationship between $p$-adic multiple $L$-functions and $p$-adic multiple polylogarithms to more general indices with not-all-positive integers.

研究动机与目标

• 开发广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数的去奇异化程序，该类函数包括Euler-Zagier-Lerch型和Mordell-Tornheim型。
• 证明去奇异化后的函数为整函数，从而消除原始zeta函数中存在的奇点。
• 计算Euler-Zagier型去奇异化双zeta函数的显式特殊值。
• 将已知的p进多重L函数与p进多重多对数函数之间的关系推广至并非全为正整数的指数情形。

提出的方法

• 通过构造标准多重zeta函数的有限线性组合，以抵消原始广义Hurwitz-Lerch型函数的极点，实现去奇异化。
• 该方法依赖于解析延拓及带有广义参数的多重zeta函数级数的结构。
• 通过代数方法对级数项进行操作，确保所得函数完全消除所有奇点，从而成为整函数。
• 该方法通过将Euler-Zagier-Lerch zeta函数嵌入更广泛的广义Hurwitz-Lerch函数类中，推广了此前关于此类函数的研究结果。
• 利用已知的zeta函数函数方程及其解析性质，推导出有限和表示形式。
• 通过将函数结构适配至p进测度和非正指数的多对数函数，实现p进推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地消除广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数中的奇点，以得到整函数？
• RQ2 去奇异化后的多重zeta函数在标准多重zeta函数下的显式有限和表示是什么？
• RQ3 Euler-Zagier型去奇异化双zeta函数的特殊值是什么？
• RQ4 如何将p进多重L函数与p进多重多对数函数之间的关系推广至非全为正整数的指数情形？
• RQ5 广义Hurwitz-Lerch zeta函数的何种结构特性使得可采用统一的去奇异化程序？

主要发现

• 广义Hurwitz-Lerch型的去奇异化多重zeta函数是整函数，解决了原始函数中存在的所有极点问题。
• 去奇异化后的函数可表示为同类型普通多重zeta函数的有限和，提供了明确的代数结构。
• 对Euler-Zagier型去奇异化双zeta函数计算出了显式特殊值，提供了新的算术数据。
• 该方法将p进多重L函数与p进多重多对数函数之间的联系推广至非全为正整数的指数情形。
• 广义Hurwitz-Lerch框架统一了多种zeta函数类型，包括Euler-Zagier-Lerch型和Mordell-Tornheim型，使其在单一去奇异化方案下得以统一处理。
• 去奇异化函数的整性为数论与算术几何中的进一步解析与p进研究提供了可能。