[论文解读] Desingularization of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type and evaluation of p-adic multiple L-functions at arbitrary integers

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数的去奇异化方法，通过消除其奇点，得到可表示为普通多重zeta函数有限和的整函数。此外，利用p进多重星型多 polylogarithm，将p进多重L函数推广至任意整数参数，推广了经典的Kubota-Leopoldt和Coleman公式。

ABSTRACT

We study analytic properties of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type. First, as a special type of them, we consider multiple zeta-functions of generalized Euler-Zagier-Lerch type and investigate their analytic properties which were already announced in our previous paper. Next we give `desingularization' of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type, which include those of generalized Euler-Zagier-Lerch type, the Mordell-Tornheim type, and so on. As a result, the desingularized multiple zeta-function turns out to be an entire function and can be expressed as a finite sum of ordinary multiple zeta-functions of the same type. As applications, we explicitly compute special values of desingularized double zeta-functions of Euler-Zagier type. We also extend our previous results concerning a relationship between $p$-adic multiple $L$-functions and $p$-adic multiple star polylogarithms to more general indices with arbitrary (not necessarily all positive) integers.

研究动机与目标

• 将多重zeta函数的去奇异化框架从Euler-Zagier-Lerch型扩展至更广泛的广义Hurwitz-Lerch型类别。
• 解决这些zeta函数的所有奇点，得到可表示为同类型普通多重zeta函数有限线性组合的整函数。
• 将p进多重L函数与p进多重星型多 polylogarithm之间的关系推广至任意整数指标（不限于正整数）。
• 利用扭曲多重伯努利数计算去奇异化双zeta函数在任意整数点的特殊值。
• 在所有整数点建立p进多重L函数的p进插值公式，统一Kubota-Leopoldt型与Coleman型公式。

提出的方法

• 利用Mellin-Barnes积分表示分析广义Hurwitz-Lerch zeta函数的亚纯延拓并定位其奇点。
• 通过减去奇点处的极点部分，构造zeta函数的去奇异化版本，得到整函数。
• 通过组合学的留数相减方法，将去奇异化zeta函数表示为同类型普通多重zeta函数的有限和。
• 通过单位根与p次单位根的生成函数定义p进多重星型多 polylogarithm。
• 应用扭曲多重伯努利数的生成函数，计算去奇异化zeta函数的特殊值。
• 通过匹配p进多重星型多 polylogarithm的生成函数与扭曲伯努利数的生成函数，建立p进插值公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地解决广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数的奇点，以得到整函数？
• RQ2 去奇异化多重zeta函数在普通多重zeta函数中的显式结构是什么？
• RQ3 如何利用p进多重星型多 polylogarithm在任意（不一定为正）整数点对p进多重L函数进行求值？
• RQ4 去奇异化双zeta函数的特殊值与扭曲多重伯努利数之间存在何种关系？
• RQ5 经典的Kubota-Leopoldt与Coleman公式能否推广至任意整数参数下的多重zeta与L函数？

主要发现

• 广义Hurwitz-Lerch型的去奇异化多重zeta函数是整函数，且可表示为同类型普通多重zeta函数的有限和。
• 对于Euler-Zagier型双zeta函数，其在任意整数点的特殊值可通过扭曲多重伯努利数显式计算。
• 证明了在负整数点处的p进多重星型多 polylogarithm等于某一特定扭曲多重伯努利数。
• p进多重L函数在任意整数点的求值公式涉及单位根与扭曲伯努利数的和。
• 在负整数点处p进多重L函数的公式同时推广了Kubota-Leopoldt公式与Coleman公式。
• 通过扭曲多重伯努利数与p进多 polylogarithm的生成函数，推导出所有整数点处p进多重L函数的p进插值公式。