[论文解读] Desingularization of vortex rings in 3 dimensional Euler flows: with swirl

Daomin Cao, Jie Wan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文通过变分法构造了三维轴对称欧拉流中具有涡旋的稳态涡环的两参数族解，实现了对经典圆形涡丝的正则化。关键结果表明，当正则化参数 β → 0⁺ 时，涡度支撑收缩为半径 r* = 1/(4πW) 的圆周，能量与拉格朗日乘子在 1/β 上呈对数尺度，且极限涡度分布在此弱 L² 拓扑下为径向非增函数。

ABSTRACT

We study desingularization of steady vortex rings in three-dimensional axisymmetric incompressible Euler fluids with swirl. Using the variational method, we construct a two-parameter family of steady vortex rings, which constitute a desingularization of the classical circular vortex filament, in several kinds of domains. The precise localization of the asymptotic singular vortex filament is shown to depend on the circulation and the velocity at far fields of the vortex ring and the geometry of the domains. We also discuss other qualitative and asymptotic properties of these vortices.

研究动机与目标

• 构造三维轴对称不可压缩欧拉流中具有非零环量与远场速度的稳态正则化涡环解。
• 通过发展一种与 Turkington 方法不同的新型变分方法，克服外区域中的紧致性问题。
• 精确刻画在 β → 0⁺ 极限下奇异涡丝的渐近位置，涉及环量、远场速度与区域几何。
• 建立涡度族在 L² 中的弱极限为径向非增函数。

提出的方法

• 采用修正的方位涡度 ζ = ω^θ / r 建立问题模型，并推导出流函数 ψ 的非线性椭圆方程（Bragg-Hawthorne/Long-Squire 方程）。
• 引入包含动能、涡旋引起的势能以及涡度集中惩罚项的正则化能量泛函 Eβ(ζ)。
• 在 L∞(D) 中对称且紧支集函数上采用约束变分框架，固定总环量。
• 利用 Steiner 对称化确保极小化子的径向对称性，并通过紧致性与下半连续性证明最大值解 ζβ 的存在性。
• 应用拉格朗日乘子理论，导出将 ζβ 与流函数 ψβ 及乘子 μβ 关联的欧拉-拉格朗日方程。
• 通过推导能量与乘子关于 W 和 r* = 1/(4πW) 的对数尺度，分析 β → 0⁺ 时的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有非零环量与远场速度的三维欧拉流中，构造出具有涡旋的两参数族正则化涡环？
• RQ2 在 β → 0⁺ 的极限下，奇异涡丝的渐近位置由什么决定？
• RQ3 在正则化过程中，能量与拉格朗日乘子如何随正则化参数 β 变化？
• RQ4 当 β → 0⁺ 时，涡度族 {gβ} 的弱极限是什么？其具有何种对称性质？

主要发现

• 当 β → 0⁺ 时，能量 Eβ(ζβ) 满足 (r*/(4π) - W r*²/2) log(1/β) + O(1) 的对数尺度，其中 r* = 1/(4πW)。
• 拉格朗日乘子 μβ 满足 (r*/(2π) - W r*²/2) log(1/β) + O(1) 的对数尺度，其中 r* = 1/(4πW)。
• 涡度支撑的直径满足 diam(supp(ζβ)) ≤ R₁β，其中 R₁ > 1，且对所有充分小的 β 成立。
• 当 β → 0⁺ 时，ζβ 的支撑到圆周 Cr* 的渐近距离趋于零。
• 在 L² 中的任意弱极限点均为径向非增函数。
• 涡度分布 ζβ 在 Steiner 对称化下对称，并收敛至一个集中于半径为 r* 的圆周上的奇异极限。