[论文解读] Desingularization of vortices for 2D steady Euler flows via the vorticity method

Daomin Cao, Guodong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 40被引用 11

一句话总结

本文通过涡度法构造了在区域Robin函数或Kirchhoff-Routh函数临界点附近小区域内涡度集中的稳定二维Euler流，其方法基于求解流函数的拟线性椭圆方程，证明了此类去奇点涡旋解的存在性。随着涡旋核心缩小，解收敛至一个特征函数，其能量与环流渐近匹配点涡模型。

ABSTRACT

In this paper, we consider steady Euler flows in a planar bounded domain in which the vorticity is sharply concentrated in a finite number of disjoint regions of small diameter. Such flows are closely related to the point vortex model and can be regarded as desingularization of point vortices. By an adaption of the vorticity method, we construct a family of steady Euler flows in which the vorticity is concentrated near a global minimum point of the Robin function of the domain, and the corresponding stream function satisfies a semilinear elliptic equation with a given profile function. Furthermore, for any given isolated minimum point $(\bar{x}_1,\cdot\cdot\cdot,\bar{x}_k)$ of the Kirchhoff-Routh function of the domain, we prove that there exists a family of steady Euler flows whose vorticity is supported in $k$ small regions near $\bar{x}_i$, and near each $\bar{x}_i$ the corresponding stream function satisfies a semilinear elliptic equation with a given profile function.

研究动机与目标

• 构造涡度在小区域高度集中的稳定Euler流，作为点涡旋的去奇点化形式。
• 分析当涡旋核心尺寸趋于零时此类流的极限行为。
• 建立在Kirchhoff-Routh函数孤立极小点附近涡度集中的稳定解的存在性。
• 刻画涡度与流函数在涡旋尺寸趋于零时的渐近轮廓。
• 严格关联去奇点涡旋的能量与环流与经典点涡旋模型的关系。

提出的方法

• 将涡度法适配于在指定点附近小球内构造具有紧支集涡度的解。
• 通过缩放流函数 $ \Psi_i^\varepsilon(y) = \psi_i^\varepsilon(x_i^\varepsilon + \varepsilon y) $ 分析 $ \varepsilon \to 0 $ 时的极限行为。
• 在缩放域中求解拟线性椭圆方程 $ -\Delta \Psi_i^\varepsilon = f_i(\Psi_i^\varepsilon) \chi_{B_{r_0}(\bar{x}_i)} + \text{低阶项} $。
• 施加约束 $ \int_{D_i^\varepsilon} f_i(\Psi_i^\varepsilon) dx = |\kappa_i| $ 以匹配环流强度。
• 建立涡度轮廓在 $ \varepsilon \to 0 $ 时于 $ L^\infty(\mathbb{R}^2) $ 中弱*收敛至径向轮廓函数 $ f_i(U^{|\kappa_i|}) $。
• 利用能量的渐近展开式 $ \mathcal{E}(\omega^\varepsilon) = \sum_{i=1}^k \frac{\kappa_i^2}{4\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ 控制奇异性行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出稳定二维Euler流，使得涡度集中在区域Robin函数全局极小值点附近的小区域内？
• RQ2 此类解的流函数在涡旋尺寸趋于零的极限下，是否满足具有给定轮廓函数的拟线性椭圆方程？
• RQ3 对于Kirchhoff-Routh函数的任意一组孤立极小点，能否构造一族涡度集中在每个点附近的稳定Euler流？
• RQ4 当涡旋核心收缩至零尺寸时，这些去奇点涡旋的能量与环流的渐近行为如何？
• RQ5 极限涡度轮廓与椭圆方程 $ -\Delta U^{|\kappa_i|} = f_i(U^{|\kappa_i|}) $ 的径向解之间有何关系，其中质量 $ |\kappa_i| $ 固定？

主要发现

• 构造出一族稳定Euler流，其涡度集中在Robin函数全局极小值点附近，且流函数满足具有给定轮廓的拟线性椭圆方程。
• 对Kirchhoff-Routh函数的任意孤立极小点 $ \bar{x}_i $，存在一稳定Euler流，其涡度支持于 $ \bar{x}_i $ 附近的小球内，且对应的流函数满足相同的轮廓方程。
• 缩放流函数 $ \Psi_i^\varepsilon $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时于 $ C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2) $ 中收敛至极限椭圆问题的径向解 $ U^{|\kappa_i|} $。
• 涡度轮廓 $ \zeta_i^\varepsilon $ 在 $ L^\infty(\mathbb{R}^2) $ 中弱*收敛至 $ f_i(U^{|\kappa_i|}) $，证实了极限下轮廓结构的存在。
• 流的能量满足 $ \mathcal{E}(\omega^\varepsilon) = \sum_{i=1}^k \frac{\kappa_i^2}{4\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $，与点涡旋模型的对数发散行为一致。
• 环流 $ \mu_i^\varepsilon = \frac{|\kappa_i|}{2\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ 确认了在奇异极限下与经典点涡旋动力学的一致性。