[论文解读] Desingularizing compact Lie group actions

Ken Richardson|ArXiv.org|Aug 31, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对紧致李群作用在流形上的去奇异化过程，构造了一个具有更少奇异层的新的 $G$-流形，以简化对横椭圆算子的分析。它建立了原始流形上狄拉克型算子的等变谱数据与商空间上椭圆算子之间的同构关系，通过希尔伯特空间等距和谱对应，将复杂的等变问题转化为可处理的椭圆问题。

ABSTRACT

This note surveys the well-known structure of G-manifolds and summarizes parts of two papers that have not yet appeared in print: one with joint with J. Bruning and F. W. Kamber, and another with I. Prokhorenkov. In particular, from a given manifold on which a compact Lie group acts smoothly, we construct a sequence of manifolds on which the same Lie group acts, but with fewer levels of singular strata. Global analysis and geometric results on the simpler manifolds may be translated to results on the original manifold. Further, we show that by utilizing bundles over a G-manifold with singular strata, we may construct natural equivariant transverse Dirac-type operators that have properties similar to Dirac operators on closed manifolds.

研究动机与目标

• 通过构造一个具有更少轨道类型结构的去奇异化流形，简化对具有奇异 $G$-流形上横椭圆算子的分析。
• 将 $M$ 上等变横椭圆狄拉克算子的研究转化为在商空间 $F_O/G$ 上的椭圆算子研究，这些算子更易于进行标准分析。
• 在原始 $G$-流形上的算子与商空间上的算子之间建立谱对应关系，从而实现几何与分析结果的转移。
• 通过等变丛和基于曲率的构造，将狄拉克算子理论推广到横椭圆设定。
• 为表示的特征提供类似傅里叶变换的公式，将阿蒂yah-塞格尔和贝林-伯尔热定理推广到横椭圆算子情形。

提出的方法

• 构造原始 $G$-流形 $M$ 的分支覆盖 $N$，其中基本域 $\widetilde{M}$ 构成去奇异化结构。
• 利用大多数奇异层 $M_j$ 周围的管状邻域 $T_\varepsilon(M_j)$，通过爆破技术定义去奇异化。
• 在主轨道类型层的法丛的标架丛 $F_O$ 上定义一个 $G \times O(n)$-等变丛 $E \to F_O$。
• 通过连接的投影和 Clifford 乘法在 $N^*\mathcal{F} \otimes E$ 上构造横 Dirac 算子 $D_{\mathrm{tr}}$，然后通过平均曲率向量 $H$ 定义 $D_{N\mathcal{F}} = D_{\mathrm{tr}} - \frac{1}{2}c(H)$。
• 通过限制到不变截面，在 $M$ 上诱导出 $G$-等变算子 $D_M^\sigma$，在商空间 $F_O/G$ 上诱导出 $O(n)$-等变算子 $D_{F_O/G}^\rho$。
• 通过定理 3.1 建立 $\Gamma(M, \mathcal{E}^\sigma)^\rho$ 与 $\Gamma(F_O/G, \mathcal{T}^\rho)^\sigma$ 之间的 $L^2$-等距对应，保持谱数据不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将奇异 $G$-流形上横椭圆算子的分析，简化为更简单空间上的椭圆问题？
• RQ2 在 $M$ 上的等变横椭圆狄拉克算子与在 $F_O/G$ 上的椭圆算子之间，精确的谱对应关系是什么？
• RQ3 在 $G$-流形上构造横 Dirac 算子，是否能获得经典狄拉克算子结果在横椭圆设定下的类比？
• RQ4 去奇异化过程在多大程度上保持或反映原始流形等变几何中的表示论结构？
• RQ5 在何种程度上，可以利用这种谱约化框架将阿蒂yah-塞格尔和贝林-伯尔热指标定理推广？

主要发现

• 去奇异化 $\widetilde{M} \subset N$ 是 $M$ 的一个分支 $G$-不变覆盖，仅包含主轨道类型层，从而简化了轨道类型结构。
• 在 $F_O$ 上的横 Dirac 算子 $D_{\mathrm{tr}}$ 通过连接、投影到法丛以及 Clifford 乘法构造而成。
• $D_{N\mathcal{F}} = D_{\mathrm{tr}} - \frac{1}{2}c(H)$ 是本质自伴的，且是 $G \times O(n)$-等变的。
• 存在一个自然的 $L^2$-等距，将 $\Gamma(M, \mathcal{E}^\sigma)^\rho$ 与 $\Gamma(F_O/G, \mathcal{T}^\rho)^\sigma$ 对应起来，可延拓为希尔伯特空间同构。
• $\left(D_M^\sigma\right)^\rho$ 与 $\left(D_{F_O/G}^\rho\right)^\sigma$ 具有相同的离散谱和共轭的特征子空间。
• 谱对应关系使得 $M$ 上横椭圆问题的分析可简化为 $F_O/G$ 上的椭圆问题，从而能够进行新的 $\eta$-不变量和特征公式计算。