[论文解读] Dessins on Modular Curves

Khashayar Filom, Ali Kamalinejad|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出两种基于dessin d'enfants理论的新方法，用于在模曲线上构造Belyi函数，从而实现模方程和j-不变量特殊值的显式计算。通过利用同余子群的作用以及模对合 $ z \mapsto -1/Nz $ 的对称性，作者推导出在CM点处j-不变量的新代数恒等式，包括 $ j(\sqrt{2}i) = 20^3 $、$ j(\sqrt{3}i) = 16 \times 15^3 $ 等，展示了基于dessin的方法在计算算术几何中的有效性。

ABSTRACT

Given a finite index subgroup $Γ$ of ${ m{PSL}}_2(\Bbb{Z})$, we investigate Belyi functions on the corresponding modular curve $X(Γ)$ by introducing two methods for constructing such functions. Numerous examples have been worked out completely and as an application, we have derived modular equations for $Γ_0(2),Γ_0(3)$ and several special values of the $j$-function by a new method based on the theory of Belyi functions and dessin d'enfants.

研究动机与目标

• 通过dessin d'enfants和Belyi函数开发有效的模曲线计算工具。
• 基于一种基于Belyi函数的新方法，计算 $ \Gamma_0(2) $ 和 $ \Gamma_0(3) $ 的模方程。
• 利用dessin的单值性与对称性，确定模j-函数在CM点处的新特殊值。
• 提供代数曲线的有向覆盖的显式例子，特别是含挠元的同余子群。
• 通过椭圆曲线的同源性推导Weierstrass ℘-函数的新恒等式。

提出的方法

• 通过 $ f([z]) = \frac{1}{1728}j(z) $ 构造 $ f: X(\Gamma) \to \mathbb{CP}^1 $ 的Belyi函数，将分歧点与黑/白顶点及面心（作为 $ \rho, i, \infty $ 的轨道）对应。
• 利用Belyi函数的单值表示，显式描述有限指数子群 $ \Gamma \leq \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ 上的dessin d'enfant。
• 提出第二种构造Belyi函数的方法，其单值描述更简单，特别适用于 $ \Gamma_0(N) $。
• 利用 $ X_0(N) $ 上的全纯对合 $ [z] \mapsto \left[ \frac{-1}{Nz} \right] $，关联Belyi函数 $ f(z) = \frac{1}{1728}j(z) $ 与 $ g(z) = \frac{1}{1728}j(Nz) $。
• 将 $ \Gamma_0(N) $ 的模方程表示为 $ 1728g $ 在 $ \mathbb{C}(f) $ 上的最小对称多项式。
• 通过在对合的不动点及新dessin顶点处求值 $ j $，计算特殊值，如 $ j(\sqrt{2}i) = 20^3 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用dessin d'enfants理论来计算 $ \Gamma_0(N) $ 的模方程？
• RQ2 从模曲线上Belyi函数的顶点与对称性中，可以推导出j-函数的哪些新特殊值？
• RQ3 Belyi函数在 $ X(\Gamma) $ 上的单值表示如何反映 $ \Gamma \leq \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ 的群论结构？
• RQ4 能否利用 $ X_0(N) $ 上的对合 $ z \mapsto -1/Nz $ 来生成Belyi函数之间的对称代数关系？
• RQ5 通过嵌入在这些dessin中的椭圆曲线同源性，会导出Weierstrass $ \wp $-函数的哪些新恒等式？

主要发现

• 在 $ X_0(2) $ 上，Belyi函数 $ f([z]) = \frac{1}{1728}j(z) $ 给出有理函数 $ f(z) = \frac{1}{27} \frac{(z+3)^3}{(z-1)^2} $，其在 $ z = \frac{3}{4} $ 和 $ z = \frac{9}{8} $ 处的取值给出 $ j(\rho/2) = 16 \times 15^3 $ 和 $ j(i/2) = 66^3 $。
• 对于 $ X_0(3) $，Belyi函数 $ f(z) = \frac{1}{64} \frac{z(z+8)^3}{(z-1)^3} $ 给出 $ j(\rho/3) = -3 \times 160^3 $、$ j((i+1)/3) = (18-6\sqrt{3})(82-54\sqrt{3})^3 $ 和 $ j(i/3) = (18+6\sqrt{3})(82+54\sqrt{3})^3 $。
• 在 $ X_0(N) $ 上，对合 $ z \mapsto -1/Nz $ 交换Belyi函数 $ f(z) = \frac{1}{1728}j(z) $ 与 $ g(z) = \frac{1}{1728}j(Nz) $，确保模方程的对称性。
• 在对合的不动点处求值 $ j $ 得到 $ j(\sqrt{2}i) = 20^3 $ 和 $ j(\sqrt{3}i) = 16 \times 15^3 $，验证了新特殊值。
• $ \Gamma_0(N) $ 的模方程被导出为 $ 1728g $ 在 $ \mathbb{C}(f) $ 上的最小对称多项式，其对称性源于该对合。
• 该方法通过同源性导出Weierstrass $ \wp $-函数的新恒等式，如评注3所述，这些恒等式被认为具有新颖性。