[论文解读] Detecting and stabilizing measurement-induced symmetry-protected topological phases in generalized cluster models

Raúl Morral-Yepes, Frank Pollmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2023

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一句话总结

该论文提出一种框架，通过非局域弦序参数检测并稳定非平衡量子随机电路中的对称保护拓扑（SPT）相。通过将基于 Clifford 的电路推广至包含 Haar 随机酉矩阵，证明了在 XZX 和 XZZX 簇模型中，SPT 有序在更广泛的门集合下仍保持稳定，弦序参数成功区分了不同相，并揭示了 SPT 有序与自发对称性破缺的共存。

ABSTRACT

We study measurement-induced symmetry-protected topological (SPT) order in a wide class of quantum random circuit models by combining calculations within the stabilizer formalism with tensor network simulations. We construct a family of quantum random circuits, generating the out-of-equilibrium version of all generalized cluster models, and derive a set of non-local string order parameters to distinguish different SPT phases. We apply this framework to investigate a random circuit realization of the XZX cluster model, and use the string order parameter to demonstrate that the phase diagram is stable against extending the class of unitary gates in the circuit, from Clifford gates to Haar unitaries. We then turn to the XZZX generalized cluster model, and demonstrate the coexistence of SPT order and spontaneous symmetry breaking, by relying on string order parameters and a connected correlation function.

研究动机与目标

• 将测量诱导 SPT 相的研究从 Clifford 电路扩展至包含 Haar 随机酉矩阵的范畴。
• 开发可访问的非局域弦序参数，作为检测 SPT 有序的拓扑纠缠熵的替代方法。
• 研究当门群从 Clifford 群扩展至完整酉群时，SPT 相的稳定性。
• 探索 XZZX 簇模型中 SPT 有序与自发对称性破缺共存的可能性。
• 建立统一框架，利用稳定子形式和张量网络对非平衡随机电路模型中的 SPT 相进行分类。

提出的方法

• 构建一族实现广义簇模型（包括 XZX 和 XZZX 变体）非平衡版本的量子随机电路。
• 推导非局域弦序参数，用于检测面积律定态中的 SPT 有序，作为拓扑纠缠熵的稳健替代方法。
• 应用稳定子形式精确模拟 Clifford 电路，实现弦序参数和相图的精确计算。
• 使用矩阵乘积态（MPS）张量网络模拟访问 Haar 随机酉区域，该区域下精确稳定子方法失效。
• 对弦序参数和半链纠缠熵进行有限尺寸标度分析，以提取临界指数并确认临界性。
• 结合对渗透理论的解析映射（测量仅限情形）与数值拟合，以验证临界行为和相变。

Figure 1: A particular realization of the cluster circuit model for (a) $\alpha=2$ and (b) $\alpha=3$ , showing the first two time steps for system size $N=6$ . The boxes labeled as $Z$ , XZX and XZZX represent projective measurements, whereas the ones with label $U$ denote random unitary gates pres

实验结果

研究问题

• RQ1 弦序参数是否能在超越 Clifford 范围的测量驱动随机电路中可靠检测并区分 SPT 相？
• RQ2 当酉门从 Clifford 群扩展至 Haar 随机酉矩阵时，测量诱导的 SPT 相在多大程度上保持稳定？
• RQ3 XZZX 簇模型是否包含 SPT 有序与自发对称性破缺共存的相，且能否通过弦序参数和关联函数检测到？
• RQ4 XZX 和 XZZX 模型中相变的临界指数是多少，是否与渗透论普适类一致？
• RQ5 有限键维数的张量网络模拟在多大程度上能准确捕捉 Haar 随机酉区域中的临界行为？

主要发现

• 弦序参数在 XZX 簇模型中成功区分了 SPT 相、 trivial 相和体积律相，证实了相图在酉演化下的鲁棒性。
• 在测量仅限情形下，弦序参数的临界指数 νs ≈ 4/3 与渗透论普适类一致，有限尺寸标度拟合效果极佳。
• 对于具有 Clifford 酉矩阵的 XZX 模型（pu = 0.2），最佳有限尺寸标度得到 νs ∈ [1.1, 1.5]，在数值不确定度范围内与 ν = 4/3 一致。
• 在 Haar 随机酉区域，弦序参数的标度拟合仍表现良好，表明存在临界性，并支持相变的存在，尽管存在数值不确定性。
• 半链纠缠熵显示 ν ≈ 1.3，与渗透论值 ν = 4/3 一致，确认了从体积律到平凡面积律相变中的临界性。
• XZZX 模型表现出一个 SPT 有序与自发对称性破缺共存的相，可通过弦序参数和关联相关函数检测到。

Figure 2: String order parameters in a Clifford circuit for $\alpha=2$ . (a) String operators ( 5 ) and ( 4 ) in a finite lattice, characterized by the same bulk operator (light shading), and distinguished by the different boundary operators (dark shading). (b) String order parameters for measuremen