[论文解读] Detecting High Log-Densities -- an O(n^1/4) Approximation for Densest k-Subgraph

Aditya Bhaskara, Moses Charikar+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 115

一句话总结

本文提出了一种针对密集k子图（DkS）问题的O(n^{1/4+ε})-近似算法，在O(n^{O(log n)})时间内实现了O(n^{1/4})的近似比。该方法利用对数密度分析，并巧妙地计数常数大小的树以识别稠密子图，其性能与随机图中植株稠密子图问题的区分比相匹配。

ABSTRACT

In the Densest k-Subgraph problem, given a graph G and a parameter k, one needs to find a subgraph of G induced on k vertices that contains the largest number of edges. There is a significant gap between the best known upper and lower bounds for this problem. It is NP-hard, and does not have a PTAS unless NP has subexponential time algorithms. On the other hand, the current best known algorithm of Feige, Kortsarz and Peleg, gives an approximation ratio of n^(1/3-epsilon) for some specific epsilon > 0 (estimated at around 1/60). We present an algorithm that for every epsilon > 0 approximates the Densest k-Subgraph problem within a ratio of n^(1/4+epsilon) in time n^O(1/epsilon). In particular, our algorithm achieves an approximation ratio of O(n^1/4) in time n^O(log n). Our algorithm is inspired by studying an average-case version of the problem where the goal is to distinguish random graphs from graphs with planted dense subgraphs. The approximation ratio we achieve for the general case matches the distinguishing ratio we obtain for this planted problem. At a high level, our algorithms involve cleverly counting appropriately defined trees of constant size in G, and using these counts to identify the vertices of the dense subgraph. Our algorithm is based on the following principle. We say that a graph G(V,E) has log-density alpha if its average degree is Theta(|V|^alpha). The algorithmic core of our result is a family of algorithms that output k-subgraphs of nontrivial density whenever the log-density of the densest k-subgraph is larger than the log-density of the host graph.

研究动机与目标

• 解决密集k子图（DkS）问题中最佳已知上界与下界之间长期存在的差距。
• 设计一种时间复杂度为多项式时间的近似算法，其近似比优于先前的O(n^{1/3−ε})界限。
• 研究平均情况变体——即在随机图与含有植株稠密子图的图之间进行区分——以指导通用算法的设计。
• 实现与植株子图模型中区分阈值相匹配的近似比，尤其适用于稠密实例。
• 探索在特定参数范围内，利用谱方法与半定规划（SDP）松弛对算法性能的改进。

提出的方法

• 将图G的对数密度α定义为平均度的Θ(|V|^α)形式，并利用此定义刻画稠密子图。
• 设计一类算法，当最稠密的k-顶点子图的对数密度高于主图时，能够识别出具有非平凡密度的k-顶点子图。
• 通过计数图中常数大小的树来估计局部密度，并指导稠密子图的顶点选择。
• 利用邻接矩阵的第二特征值，提升在k > √n时的“稠密 vs 随机”问题中的区分能力。
• 为DkS问题建立SDP松弛，并证明在随机图中SDP值的上界为k(√D + k²D/n)，以高概率成立。
• 将树计数与谱方法及SDP技术相结合，在不同参数范围内实现更优的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出一种在多项式时间内实现O(n^{1/4+ε})-近似的密集k子图问题算法？
• RQ2 在随机图中检测一个植株稠密k子图的最佳可能区分比是多少？该比值是否可在一般DkS设置中实现？
• RQ3 对于k > √n的情况，谱方法（特征值分析）与SDP松弛如何提升“稠密 vs 随机”问题中的近似保证？
• RQ4 对数密度框架能否被扩展，以在受限场景（如随机或半随机实例）中获得更优的近似比？
• RQ5 在亚指数时间内能否实现优于O(n^{1/4})的近似比？当前技术的极限是什么？

主要发现

• 本文在时间复杂度为n^{O(1/ε)}（对任意ε > 0）下，实现了对DkS的O(n^{1/4+ε})-近似。
• 当算法运行时间为O(n^{O(log n)})时，其近似比达到O(n^{1/4})。
• 植株稠密子图问题的区分比与通用算法的近似比相匹配，表明该结果具有紧致性。
• 当k > √n时，第二特征值方法提供的区分阈值优于对数密度分析，使得当植株子图密度超过√D + kD/n时可实现检测。
• DkS的SDP松弛在平均度为D的随机图中具有上界k(√D + k²D/n)，在k > √n的参数范围内优于对数密度界限。
• 该算法的性能是紧致的，即在多项式时间内实现o(n^{1/4})的区分比对于植株问题而言，超出了当前算法技术的能力范围。