[论文解读] Detecting Symmetry in Designing Heat Exchanger Networks

Georgia Kouyialis, Ruth Misener|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Process Optimization and Integration参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文提出了一种群论框架，用于检测和分类混合整数线性规划（MILP）输运模型中换热器网络合成（HENS）的对称性，证明了对称解源于相同的流体参数和置换不变性。作者展示了可以通过系统化识别对称性来减少分支定界算法中的计算量，并通过一个测试案例的计算验证表明，在对称群作用下可获得等价的最优解。

ABSTRACT

Symmetry in mathematical optimisation is of broad and current interest. In problem classes such as mixed-integer linear programming (MILP), equivalent solutions created by symmetric variables and constraints may combinatorially increase the search space. Identifying problem symmetries is an important step towards expediting tree-based algorithms such as branch-and-cut because computationally classifying equivalence allows state-of-the-art solver software to omit symmetric solutions. But symmetry has not been characterised in several critically important process systems engineering applications such as heat exchanger network synthesis; neither do current MILP solvers detect or use symmetries for these energy efficiency problems. This paper uses group theory to study the MILP transshipment model of heat exchanger network synthesis and identifies several types of symmetry arising in the problem.

研究动机与目标

• 识别并分类混合整数线性规划（MILP）输运模型在换热器网络合成（HENS）中的对称性，这是过程系统工程中一个关键但此前未被表征的问题。
• 分析对称解如何从等效的流体参数（例如，相同的温度和热容）以及置换下的结构不变性中产生。
• 证明对称性检测可减少分支定界算法中的冗余探索，从而加速收敛。
• 提供一个正式的群论框架用于HENS中的对称性，以支持未来在优化求解器中的集成。
• 通过一个小型测试案例进行计算验证，该案例由于对称性存在多个等价的最优解。

提出的方法

• 将群论应用于HENS的MILP输运公式化模型，基于具有相同属性的热流和冷流的置换识别对称性群。
• 通过流体间具有相等温度和热容的双射映射（置换）定义对称性，证明目标函数和约束在该变换下保持不变。
• 以Papoulias和Grossmann（1983）提出的输运模型为核心公式化方法，其中热量流动通过温度区间建模，并使用二值变量表示流体匹配。
• 推导数学证明，表明当多个流体具有相同参数时，其置换会在MILP模型中生成对称解。
• 引入一个包含3个热流和3个冷流的测试案例，以计算方式验证对称解的存在及其群结构。
• 分析对称性对分支定界搜索树的影响，表明对称解在目标值上等价，但若无对称性检测则需分别探索。

实验结果

研究问题

• RQ1 在换热器网络合成的MILP输运模型中存在哪些类型的对称性？
• RQ2 在基于流体参数的HENS模型中，对称解在何种条件下出现？
• RQ3 如何使用群论正式表征HENS中的对称性？
• RQ4 对称性检测是否可以减轻求解HENS MILP问题的计算负担？
• RQ5 对称解与HENS优化中解空间结构之间存在何种关系？

主要发现

• 在HENS的MILP模型中，当多个热流或冷流具有相同的温度和热容参数时，会产生对称性，导致等价的最优解。
• 本文证明，此类对称流体的置换构成一个对称群，即对称群S_n，该群保持目标函数和约束不变。
• 在3×3流体测试案例中的计算结果确认了由于对称性而存在多个等价的最优解，共识别出6种对称配置。
• 即使启用了对称性功能，CPLEX 12.6也未能检测到该对称性，表明当前求解器在HENS问题中对对称性的支持存在空白。
• 作者展示了可以通过群作用从单一解系统性地生成对称解，从而为潜在的对称性破缺策略提供支持。
• 研究结果表明，将对称性感知的分支或割平面策略集成到求解器中，可显著减少HENS问题的求解时间。