[论文解读] Detecting the local indistinguishability of maximally entangled states

Sixia Yu, C. H. Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 23被引用 35

一句话总结

该论文通过结合局部协议的非对称性与HSSH方法，提出了一种用于检测$d\otimes d$系统中最大纠缠态（MES）局部不可区分性的可计算准则。它为所有$d \geq 4$构造了完整的$d$个局部不可区分的MES集合，并证明当$d \geq 6$且为偶数时，存在$k = d-1$个MES集合无法通过可分测量区分，且在大$d$极限下，比值$k/d$趋近于$3/4$。

ABSTRACT

By incorporating the asymmetry of local protocols, i.e., some party has to start with a nontrivial measurement, into an operational method of detecting the local indistinguishability proposed by Horodecki {\it et al.} [Phys.Rev.Lett. 90 047902 (2003)], we derive a computable criterion to efficiently detect the local indistinguishability of maximally entangled states. Locally indistinguishable sets of $d$ maximally entangled states in a $d\otimes d$ system are systematically constructed for all $d\ge 4$ as an application. Furthermore, by exploiting the fact that local protocols are necessarily separable, we explicitly construct small sets of $k$ locally indistinguishable maximally entangled states with the ratio $k/d$ approaching 3/4. In particular, in a $d\otimes d$ system with even $d\ge 6$, there always exist $d-1$ maximally entangled states that are locally indistinguishable by separable measurements.

研究动机与目标

• 解决一个基本挑战：确定仅使用局部操作与经典通信（LOCC）能否精确区分一组正交的最大纠缠态。
• 通过利用LOCC的结构性质（如非对称性和可分性）来克服证明局部不可区分性的困难，即需排除所有可能的LOCC协议。
• 为所有$d \geq 4$的$d\otimes d$系统，显式构造出完整的$d$个最大纠缠态集合，使其局部不可区分，从而解决一个长期存在的开放问题。
• 在相对系统维度$d$下最小化局部不可区分集合的大小，实现当$d \geq 6$且为偶数时，比值$k/d$趋近于$3/4$。

提出的方法

• 提出一种‘非对称HSSH方法’，将LOCC协议的非对称性（即一方必须首先执行非平凡测量）与HSSH纠缠转换技术相结合，推导出局部不可区分性的可计算准则。
• 利用LOCC协议必然可分的性质，通过构造用于检测纠缠的正定映射，证明无法通过可分测量区分。
• 基于$d$的最大真因数$q$，将系统分解为复合的哑量子子系统，通过酉算符$U = Z_q^n \otimes L_V$（其中$L_V$在$2p$-维子系统上定义）实现不可区分集合的构造。
• 通过证明$\sum_U \text{Tr}(M_U (H_{2d} - \psi_U)) > 0$，其中$H_{2d} = P_q \otimes A_{2p}$，在测量算符的迹上导出矛盾，从而证明不存在可分测量可区分该集合。
• 利用交换算符$V_{2p}$和算符$A_{2p} = (I_{2p} \otimes I_{2p} - V_{2p})/(2p)$定义用于检测纠缠的映射，以检测测量过程中的非可分性。
• 将该准则应用于构造大小为$k_\sigma = 2d - q + \sigma$的集合$\Xi_{2d}$，其通过可分测量被严格证明不可区分，其中$\sigma$被选择以最大化$k_\sigma$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有$d \geq 4$，$d\otimes d$系统中完整的一组$d$个最大纠缠态是否可能局部不可区分？
• RQ2 相对于系统维度$d$，局部不可区分的最大纠缠态集合的最小大小是多少？该比值能否无限趋近于$3/4$？
• RQ3 是否可以联合利用LOCC协议的非对称性与测量算符的可分性，推导出局部不可区分性的可计算准则？
• RQ4 对于偶数$d \geq 6$，是否总存在一组$d-1$个最大纠缠态，其无法通过可分测量区分？

主要发现

• 为所有$d \geq 4$的$d\otimes d$系统，提供了完整的$d$个最大纠缠态集合的显式构造，这些态集合局部不可区分，从而解决了长期存在的开放问题。
• 对于偶数$d \geq 6$，通过非对称HSSH方法证明存在一组$d-1$个最大纠缠态无法通过可分测量区分。
• 已知最小局部不可区分最大纠缠态集合的大小$k$与系统维度$d$的比值$k/d$在大$d$极限下趋近于$3/4$。
• 当$d = 4m$时，构造出$k = \frac{3}{4}d + 1$个最大纠缠态集合，其局部不可区分，优于以往的构造。
• 当$d = 6m$且$m$为奇数时，构造出$k = \frac{5}{6}d$个局部不可区分的最大纠缠态集合，其比值高于以往结果。
• 该方法验证了此前推测或通过数值验证的不可区分最大纠缠态集合，通过可计算准则提供了严格的解析证明。