[论文解读] Detecting the Majorana fermion surface state of $^3$He-B through spin relaxation

Suk Bum Chung, Shoucheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2009

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 9

一句话总结

本文提出了一项电子自旋弛豫实验，通过测量Zeeman场方向依赖的弛豫率，以探测超流 $^3$He-B 中Majorana费米子表面态的存在，该弛豫率与 $1/T_1 \propto \sin^2\theta$ 成正比。关键结果是在垂直与平行场方向之间，弛豫率存在三个数量级的差异，为表面态的Majorana特性提供了清晰的实验证据。

ABSTRACT

The concept of the Majorana fermion has been postulated more than eighty years ago; however, this elusive particle has never been observed in nature. The non-local character of the Majorana fermion can be useful for topological quantum computation. Recently, it has been shown that the 3He-B phase is a time-reversal invariant topological superfluid, with a single component of gapless Majorana fermion state localized on the surface. Such a Majorana surface state contains half the degrees of freedom of the single Dirac surface state recently observed in topological insulators. We show here that the Majorana surface state can be detected through an electron spin relaxation experiment. The Majorana nature of the surface state can be revealed though the striking angular dependence of the relaxation time on the magnetic field direction, $1/T_1 \propto sin^2 θ$ where $θ$ is the angle between the magnetic field and the surface normal. The temperature dependence of the spin relaxation rate can reveal the gapless linear dispersion of the Majorana surface state. We propose a spin relaxation experiment setup where we inject an electron inside a nano-sized bubble below the helium liquid surface.

研究动机与目标

• 检测超流 $^3$He-B 中的Majorana费米子表面态，该体系为时间反演对称的拓扑超导体，迄今尚未获得直接的实验证实。
• 基于其自由度减少的特性，提出一种独特的实验特征，以区分Majorana表面态与传统的狄拉克型表面态。
• 提出一种可行的实验方案，利用注入在 $^3$He-B 表面以下的纳米气泡中电子自旋弛豫，利用体系的低能尺度和拓扑保护特性。
• 证明弛豫率对Zeeman场方向的角依赖性——特别是 $1/T_1 \propto \sin^2\theta$——可作为表面模Majorana特性的直接探测手段。

提出的方法

• 该方法采用在含有单个电子的纳米气泡中进行电子自旋共振（ESR），气泡深度通过外部电场控制。
• 弛豫率通过电子基态与激发态之间的偶极矩阵元计算，该矩阵元通过自旋-轨道耦合与 $^3$He-B 的表面准粒子耦合。
• 表面态哈密顿量建模为 $\mathcal{H}_{\text{surf}} = v_F \bm{\sigma} \cdot (\hat{z} \times \mathbf{p})$，描述一个具有狄拉克锥一半自由度的单一Majorana锥。
• 弛豫率通过费米黄金法则计算，包含电子波函数的形因子和表面模式的动力学结构因子。
• 计算考虑了电子波函数的空间依赖性，近似为 $P(q,z) \propto e^{-q^2 R^2 / 2\pi^2} e^{-\pi^2 (z-b)^2 / 2R^2}$，其中气泡中心位于深度 $b$。
• 通过比较Zeeman场平行（$\theta = \pi/2$）与垂直（$\theta = 0$）于表面时的弛豫率，分析场方向依赖性，揭示出 $\sin^2\theta$ 的标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过局域电子的自旋弛豫探测 $^3$He-B 中表面态的Majorana特性？
• RQ2 弛豫率是否表现出与Zeeman场方向相关的 $\sin^2\theta$ 依赖性，如Majorana表面态自由度减少所预测的那样？
• RQ3 平行与垂直Zeeman场之间的弛豫率在定量上存在多大差异，且该差异是否可在实验中分辨？
• RQ4 电子气泡深度如何影响弛豫率，且能否通过外部电场控制其平衡深度？

主要发现

• 在深度为 22.5 nm、87.4 nm 和 225.2 nm 时，Zeeman场平行于表面（$\theta = \pi/2$）的弛豫率约为垂直场（$\theta = 0$）的三个数量级大。
• 弛豫率比值 $1/T_{1\parallel}^{(1)} / 1/T_{1\perp}^{(1)}$ 主要由 $\sin^2\theta$ 角依赖性主导，垂直分量因偶极矩阵元中的符号抵消而被抑制。
• 弛豫率对电子气泡深度 $|b|$ 的依赖性较弱，表现为指数衰减 $e^{-4b/\xi}$，其中 $\xi = 237$ nm 为 $^3$He-B 的相干长度。
• 当气泡半径 $R = 2.35$ nm 且 $k_F = 7.88$ nm$^{-1}$ 时，气泡内部区域（$|z-b| < R$）对弛豫的贡献仅占总量的约4%，因此聚焦于外部区域是合理的。
• 在电场 150 V/cm 下，电子气泡的平衡深度 $|b_{\text{equil}}| = 22.5$ nm 是可实现的，已知 $^3$He 液体的介电常数 $\varepsilon_d = 1.04$。
• 平行与垂直场方向的弛豫率计算结果以包含误差函数和费米-狄拉克分布的无量纲积分形式表达，便于与实验进行定量比较。