[论文解读] Detection of sparse variable functions

Yuri I. Ingster|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文在白噪声模型下，采用极小极大方法，研究了高维光滑、可加、稀疏信号函数的检测问题。研究将稀疏向量检测的结果推广至非参数可加信号函数，建立了在光滑性和稀疏性约束下的最优检测阈值。

ABSTRACT

We consider the problem of detection of smooth high variable signal function in the white noise model. We assume that the struture of the signal function is additive sparse. In order to detect the signal, we wish to test the null hypothesis characterized by no signal against composite nonparametric alternative which is composed of smooth additive sparse signal functions. The testing problem is solved according to the minimax approach. We prove that the results for detection of sparse high dimensional vectors can be extended to the problem under consideration.

研究动机与目标

• 开发一种在高维设置下检测光滑、可加、稀疏信号函数的方法。
• 解决在零假设（无信号）与复合非参数备择假设之间进行检验的挑战。
• 将现有的稀疏向量极小极大检测理论扩展至光滑、可加、高维信号函数的情形。
• 在光滑性和稀疏性结构下，建立检测程序的理论最优性。

提出的方法

• 采用极小极大方法，推导出可加稀疏信号函数的最优检测程序。
• 在高维白噪声设定下，将信号建模为具有稀疏分量的光滑可加函数。
• 应用针对稀疏、光滑、可加函数类量身定制的非参数检验技术。
• 利用已知的稀疏向量检测结果，并将其扩展至函数型、非参数信号模型。
• 基于信号结构中光滑性与稀疏性的相互作用，推导检测边界。
• 采用泛函分析工具，刻画希尔伯特空间设定下的检验问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 稀疏高维向量的极小极大检测理论能否推广至光滑、可加、非参数信号函数？
• RQ2 在白噪声模型下，光滑、可加、稀疏信号函数的最优检测阈值是什么？
• RQ3 光滑性与稀疏性的结合如何影响高维空间中信号的可检测性？
• RQ4 在极小极大准则下，此类信号类别的检测基本极限是什么？

主要发现

• 本文证明了稀疏向量检测的结果可推广至非参数、可加、光滑信号函数的设定。
• 最优检测阈值以信号的光滑性与稀疏性结构为条件进行刻画。
• 极小极大检测速率由函数的光滑性与非零分量数量之间的相互作用决定。
• 在给定的光滑性与稀疏性假设下，检测边界被证明是严格的。
• 所提出的方法在常数因子范围内达到最优检测速率，与已知下界一致。
• 理论框架为检测具有稀疏、光滑分量的复杂高维信号提供了基础。