[论文解读] Determinant Expression for Hyperelliptic Functions

Shigeki Matsutani, Yoshihiro Ônishi|arXiv (Cornell University)|May 23, 2001

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文通过引入涉及theta特征和Riemann theta函数的新行列式表达式，将Kiepert的行列式公式推广至所有超椭圆曲线。其关键贡献是一个统一的代数几何公式，将经典结果扩展至高亏格的超椭圆函数，为这类曲线上的theta函数提供了基础工具。

ABSTRACT

In this paper we give natural generalization of the formula of Kiepert (see (1.1) below) for all hyperelliptic curves.

研究动机与目标

• 将原本仅适用于椭圆曲线的Kiepert经典行列式公式，推广至任意亏格的超椭圆曲线。
• 建立一个自然的代数几何框架，用于通过theta特征的行列式表达超椭圆函数。
• 提供一个统一的表达式，通过行列式构造捕捉超椭圆theta函数的结构。
• 通过引入Riemann theta函数和基本形式，推广已知的关于超椭圆曲线上theta函数的结果。

提出的方法

• 利用带有特征的Riemann theta函数推导行列式表达式，该表达式适配于超椭圆情形。
• 应用超椭圆曲线上theta特征的理论，构造一个对称矩阵，其行列式即为所求函数。
• 利用基本形式和亚纯微分，将行列式表达为曲线上局部坐标的形式。
• 依赖于超椭圆曲线雅可比簇的代数结构，确保行列式公式在曲线自同构作用下保持不变。
• 通过用超椭圆theta函数替代椭圆模形式，推广Kiepert的原始公式。
• 利用Riemann theta零点及其导数，将行列式表达为theta常数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Kiepert针对椭圆曲线的行列式公式推广至高亏格的超椭圆曲线？
• RQ2 超椭圆函数行列式表达式的代数几何结构是什么？
• RQ3 能否利用theta特征和Riemann theta函数，为所有超椭圆曲线构造一个统一的行列式公式？
• RQ4 基本形式和亚纯微分在超椭圆函数行列式表达式中起什么作用？
• RQ5 所提出的行列式公式与超椭圆曲线上theta函数理论中的已知恒等式有何关联？

主要发现

• 本文构造了一个行列式表达式，将Kiepert公式推广至所有超椭圆曲线，适用于任意亏格g ≥ 2。
• 该行列式以带有半特征的Riemann theta函数表达，完整捕捉了超椭圆函数的结构。
• 该公式在超椭圆对合作用下保持不变，证实了其几何一致性。
• 在亏格一情形下，该行列式表达式退化为Kiepert的原始公式，验证了推广的正确性。
• 该方法提供了一种系统化的方法，利用行列式代数生成超椭圆theta函数的恒等式。
• 该构造揭示了雅可比簇的代数结构与超椭圆曲线上theta函数解析性质之间深刻的联系。