[论文解读] Determinant Form of Correlators in High Rank Integrable Spin Chains via Separation of Variables

Nikolay Gromov, Fedor Levkovich-Maslyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 98被引用 25

一句话总结

本文通过分离变量（SoV）程序，为具有 gl(N) 对称性的高秩可积自旋链中的关联函数和波函数重叠推导出一个行列式公式。通过显式计算 SoV 测度矩阵元，作者得到了在壳与非在壳贝特态之间、以及具有不同扭结参数的态之间的重叠的紧凑行列式表示——这些是 AdS/CFT 应用中的关键结果。该方法首次将先前的工作推广至一般自旋值和非紧致情形，为高秩可积模型中形式因子和期望值的系统计算提供了统一框架。

ABSTRACT

In this paper we take further steps towards developing the separation of variables program for integrable spin chains with gl(N) symmetry. By finding, for the first time, the matrix elements of the SoV measure explicitly we were able to compute correlation functions and wave function overlaps in a simple determinant form. In particular, we show how an overlap between on-shell and off-shell algebraic Bethe states can be written as a determinant. Another result, particularly useful for AdS/CFT applications, is an overlap between two Bethe states with different twists, which also takes a determinant form in our approach. Our results also extend our previous works in collaboration with A. Cavaglia and D. Volin to general values of the spin, including the SoV construction in the higher-rank non-compact case for the first time.

研究动机与目标

• 将分离变量（SoV）程序推广至具有 gl(N) 对称性的高秩可积自旋链，包括非紧致情形和一般自旋表示。
• 显式计算 SoV 测度的矩阵元，从而实现标量积和重叠的行列式形式评估。
• 推导出非平凡可观测量的行列式表示，例如在壳与非在壳贝特态之间的重叠，以及具有不同扭结参数的态之间的重叠。
• 将先前针对 sl(2) 和 sl(3) 的结果推广至任意 gl(N) 及非紧致情形，为形式因子计算提供统一框架。

提出的方法

• 作者利用 SoV 框架为 gl(N) 自旋链构造分离变量基，推导出可分解为通用块的波函数。
• 他们直接从积分表示和函数关系出发，利用巴特勒 Q 函数和转移矩阵计算 SoV 测度矩阵元。
• 一项关键技术进展是推导出以韦达蒙德行列式和 Pochhammer 类乘积形式表示测度的一般公式。
• 该方法采用一种‘行列式-乘积’构造，通过涉及量子子式和 ˚-映射的新代数结构，将标量积映射为行列式。
• 通过与 sl(2) 和 sl(3) 中已知结果的一致性验证了该方法，并利用 gl(N) 生成元的振子实现将方法推广至非紧致情形。
• 该形式系统在 Mathematica 中实现，用于显式计算测度元和重叠，附录中提供了代码。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意自旋值（包括非紧致表示）的高秩 gl(N) 自旋链中显式计算 SoV 测度？
• RQ2 在 SoV 框架下，能否将在壳与非在壳贝特态之间的重叠表示为紧凑的行列式形式？
• RQ3 在 gl(N) 自旋链中，具有不同扭结参数的两个贝特态之间的重叠是否存在行列式表示？
• RQ4 SoV 测度如何推广至非紧致 gl(N) 模型？振子表示的生成元在此构造中起什么作用？
• RQ5 该形式系统能否用于以行列式形式计算转移矩阵导数的形因子（如局域自旋期望值）？

主要发现

• 为一般 gl(N) 自旋链显式推导出 SoV 测度矩阵元的闭合形式表达式，其中提供了 sl(3) 和一般 N 的显式表达式。
• 证明了在壳与非在壳贝特态之间的重叠可表示为行列式形式，将已知的 sl(2) 结果推广至更高秩情形。
• 具有不同扭结参数的贝特态之间的重叠也以行列式形式表示，该结果此前在 sl(3) 之外尚属未知。
• 该方法成功推广至非紧致情形，包括任意自旋值 s，通过函数关系证明了测度中极点的抵消。
• 局域自旋期望值被计算为由测度和转移矩阵导数构成的矩阵的行列式，与已知结果一致。
• 提供的 Mathematica 实现允许显式计算测度元和重叠，附录中展示了 sl(4) 和 sl(3) 链的示例输出。