[论文解读] Determinants of adjacency matrices of graphs

Aliréza Abdollahi|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Graph theory and applications参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文研究了最多9个顶点的所有非同构图的邻接矩阵的行列式集合，通过nauty和GAP精确计算其值。研究发现，恰好包含两个圈的图的行列式被限制在一个有限整数集合中，并推导出最大和最小行列式的界以及结构特性，包括基于图结构的奇偶性和可除性约束。

ABSTRACT

We study the set of all determinants of adjacency matrices of graphs with a given number of vertices.

研究动机与目标

• 确定所有非同构图在n个顶点（n ≤ 9）时邻接矩阵的可能行列式值的完整集合。
• 表征最大和最小行列式值αₙ和βₙ，并识别其为零或非零的条件。
• 基于图的性质（如圈结构和二分性）研究行列式的结构约束，例如奇偶性和可除性。
• 识别在给定大小n的图中无法作为行列式的整数。
• 探索n和n+1阶图的行列式集合之间的关系，并研究奇异图比例的渐近行为。

提出的方法

• 使用Brendan McKay开发的nauty软件计算最多9个顶点的所有非同构图。
• 使用GAP对每张图计算邻接矩阵的行列式，实现行列式集合DGₙ的精确枚举。
• 应用矩阵理论中的已知结果，包括Hadamard不等式和Ryser界，推导出行列式绝对值的理论上界。
• 使用文献[1]中的定理1.3，通过基本图形（不相交圈与边的并）分析行列式，尤其针对恰好有两个圈的图。
• 对恰好包含两个圈的图进行结构分析，利用圈之间的路径连接，并应用[1, 定理2.11和2.12]中的递归行列式公式。
• 利用(0,1)-矩阵的性质和图不变量（包括Newman的gcd结果及其在图上的推广）推导出可除性和奇偶性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n ≤ 9，邻接矩阵的行列式值在n个顶点的图中可以取到的完整集合是什么？
• RQ2 对于哪些整数m，不存在具有n个顶点的图G使得det(G) = m？
• RQ3 对于n > 3，最大行列式值αₙ和最小行列式值βₙ是否总是正和负？
• RQ4 达到αₙ和βₙ的图是否必然具有特殊结构特性，如连通性或正则性？
• RQ5 当n → ∞时，行列式为零的图的比例是否收敛于1/2？

主要发现

• 对于n ≤ 9，行列式值集合DGₙ已完全计算并列成表格，每个行列式的精确重数均已知。
• 对于所有n > 2，最大行列式αₙ为正；对于所有n > 3，最小行列式βₙ为负，且当n ≥ 4时有αₙ > 0和βₙ < 0。
• 所有奇数个顶点的图的行列式均为偶数；所有奇数个顶点的二分图的行列式为零。
• 对于恰好包含两个圈的图，其行列式始终属于集合{0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±8, ±16}。
• 若图包含两个不相交的奇圈，则其行列式属于{−8, 0, 3, 5, 16}；对于连通的双圈图，其行列式集合取决于连接路径的长度。
• 行列式为零的图的比例随n迅速增长，且当n → ∞时该比例的极限δ₀可能存在，但其值尚未确定。