[论文解读] Determinants of elliptic pseudo-differential operators

Maxim Kontsevich, S. M. Vishik|ArXiv.org|Apr 7, 1994

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 77

一句话总结

本文为闭流形上一般椭圆伪微分算子（PDO）的zeta-正则化行列式建立了一个框架，通过一种新的迹泛函TR引入了规范行列式。它通过乘法异常揭示了行列式构造中隐藏的二次非线性性，该异常完全由符号表征，并在自然类的奇数维流形上对奇数阶PDO恒为零。

ABSTRACT

Determinants of invertible pseudo-differential operators (PDOs) close to positive self-adjoint ones are defined throughthe zeta-function regularization. We define a multiplicative anomaly as the ratio $\det(AB)/(\det(A)\det(B))$ considered as a functionon pairs of elliptic PDOs. We obtained an explicit formula for the multiplicative anomaly in terms of symbols of operators. For a certain natural classof PDOs on odd-dimensional manifolds generalizing the class of ellipticdifferential operators, the multiplicative anomaly is identically $1$. For elliptic PDOs from this class a holomorphic determinant and a determinant for zero orders PDOs are introduced. Using various algebraic, analytic, and topological tools we study local and global properties of the multiplicative anomaly and of the determinant Lie group closely related with it. The Lie algebra for the determinant Lie group has a description in terms of symbols only. Our main discovery is that there is a {\em quadratic non-linearity} hidden in the definition of determinants of PDOs through zeta-functions. The natural explanation of this non-linearity follows from complex-analytic properties of a new trace functional TR on PDOs of non-integer orders. Using TR we easily reproduce known facts about noncommutative residues of PDOs and obtain several new results. In particular, we describe a structure of derivatives of zeta-functions at zero as of functions on logarithms of elliptic PDOs. We propose several definitions extending zeta-regularized determinants to general elliptic PDOs. For elliptic PDOs of nonzero complex orders we introduce a canonical determinant in its natural domain of definition.

研究动机与目标

• 为现有方法范围之外的一般椭圆PDO定义zeta-正则化行列式。
• 将乘法异常 det(AB)/(det(A)det(B)) 作为行列式乘法性失效的核心障碍加以解决。
• 通过对数符号和新的迹泛函TR，为复非整数阶椭圆PDO构造一个规范行列式。
• 在行列式上建立李群结构，并用符号描述其李代数。
• 即使符号对数不存在，也通过行列式丛上的全纯联络将行列式扩展到PDO族。

提出的方法

• 为非整数阶PDO引入了一种规范迹泛函TR，该泛函控制zeta-函数在s=0处的导数。
• 使用zeta-正则化定义 detζ(A) = exp(−ζ′A(0))，适用于非零阶的椭圆PDO。
• 定义乘法异常 F(A,B) = det(AB)/(det(A)det(B))，并推导出其关于A和B符号的显式公式。
• 构造行列式李群 G(M,E) = F₀\Ell₀×(M,E)，并建立其在椭圆符号上的C×-丛结构。
• 通过对数符号 l ∈ Slog(M,E) 引入行列式丛上的全纯联络，实现行列式在符号对数奇点处的解析延拓。
• 即使 log A 不存在，也仅通过符号和迹TR提出规范行列式 det(A) = d₁(A)/d̃₀(σ(log A))。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将zeta-正则化行列式一致地扩展到一般椭圆PDO，特别是在符号对数未定义时？
• RQ2 椭圆PDO的乘法异常 F(A,B) 的代数结构是什么？如何从算子符号计算它？
• RQ3 为何在椭圆PDO的无穷维设置中行列式不满足乘法性？其背后的隐藏非线性性是什么？
• RQ4 能否为复非整数阶椭圆PDO定义规范行列式？其定义域是什么？
• RQ5 当对数符号出现奇点时，行列式在全纯PDO族下的行为如何？

主要发现

• 乘法异常被显式计算为符号的函数，揭示了行列式构造中的二次非线性性。
• 对于自然类（奇数类算子）中奇数维流形上的椭圆PDO，乘法异常恒为零，意味着 det(AB) = det(A)det(B)。
• 为所有复非零阶椭圆PDO在单位元的连通分支中定义了规范行列式，扩展了zeta-正则化行列式。
• 行列式李群的李代数完全通过规范迹TR用符号描述。
• 行列式丛具有由对数符号定义的全纯联络，实现了在符号对数奇点处的行列式解析延拓。
• 当 log A(z) 存在时，detζ(A(z)) = exp(−∂s TR(exp(−s log A(z)))|s=0)，且规范行列式 det(A(z)) 由全纯截面的比值控制，其发散性由 B(z) = d̃₀(σ(log A(z)))/f₀(z) 决定。