[论文解读] Determinants of Laplacians in Exterior Domains

Andrew Hassell, Steve Zelditch|ArXiv.org|Feb 3, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文通过引入外拉普拉斯算子的行列式并证明一个类似Burghelea-Friedlander-Kappeler的手术公式，将问题简化为有界区域，从而建立了单连通平面外域的同相位类的序列紧致性。关键贡献在于将Osgood-Phillips-Sarnak框架从同谱域推广到散射理论中的同相位域，利用热不变量和谱行列式不变量。

ABSTRACT

We consider classes of simply connected planar domains which are isophasal, ie, have the same scattering phase $s(ł)$ for all $ł> 0$. This is a scattering-theoretic analogue of isospectral domains. Using the heat invariants and the determinant of the Laplacian, Osgood, Phillips and Sarnak showed that each isospectral class is sequentially compact in a natural $C$-infinity topology. In this paper, we show sequential compactness of each isophasal class of domains. To do this we define the determinant of the exterior Laplacian and use it together with the heat invariants (the heat invariants and the determinant being isophasal invariants). We show that the determinant of the interior and exterior Laplacians satisfy a Burghelea-Friedlander-Kappeler type surgery formula. This allows a reduction to a problem on bounded domains for which the methods of Osgood, Phillips and Sarnak can be adapted.

研究动机与目标

• 将Osgood-Phillips-Sarnak关于同谱域的框架扩展到同相位域的散射理论设置。
• 在散射理论背景下，定义并分析外拉普拉斯算子的行列式作为谱不变量。
• 建立一个手术公式，将外拉普拉斯算子的行列式与内域及全平面拉普拉斯算子的行列式联系起来，类似于Burghelea-Friedlander-Kappeler公式。
• 利用热不变量和行列式不变量，证明在$C^{ty}$拓扑下同相位类的序列紧致性。
• 证明散射相位确定的域类不会通过捏缩发生退化，仅依赖于谱本身之外的谱不变量。

提出的方法

• 通过zeta-正则化迹和zeta函数的解析续延来定义外拉普拉斯算子的行列式。
• 证明行列式和热不变量是同相位不变量，即在相同散射相位下保持不变。
• 通过区域的分解，建立一个将外拉普拉斯算子的行列式与内域及全平面拉普拉斯算子的行列式联系起来的手术公式。
• 利用函数演算和迹范数估计，证明预解子之差为迹类算子，从而使得行列式的定义成为可能。
• 应用多齐次函数的推送定理和Hadamard正则化积分，推导谱积分的渐近展开式。
• 通过手术公式将问题约化为有界区域，从而可应用Osgood-Phillips-Sarnak的紧致性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 Osgood、Phillips和Sarnak关于同谱紧致性的结果能否推广到同相位域的散射理论设置？
• RQ2 外域的拉普拉斯算子行列式的适当类比是什么？如何严格定义它？
• RQ3 是否存在一个手术公式，将外拉普拉斯算子的行列式与内域及全平面拉普拉斯算子的行列式联系起来？
• RQ4 热不变量与外行列式组合是否可用于证明在$C^{ty}$拓扑下同相位类的序列紧致性？
• RQ5 仅使用谱不变量，能否排除同相位类中退化域序列（如捏缩）的存在？

主要发现

• 通过zeta正则化，外拉普拉斯算子的行列式被良好定义，并且是同相位不变量。
• 建立了将外拉普拉斯算子的行列式与内域及全平面拉普拉斯算子的行列式联系起来的手术公式，推广了Burghelea-Friedlander-Kappeler公式。
• 证明了外域的热不变量$a_j$为同相位不变量，将Melrose的结果推广到了散射设置。
• 热不变量与行列式不变量的结合确保了在边界曲率函数的$C^{ty}$拓扑下，同相位类是序列紧致的。
• 该证明依赖于证明预解子之差$( ilde{ riangle}+ u)^{-1} - ( riangle_{ ext{full}}+ u)^{-1}$为迹类算子，从而使得行列式的定义成为可能。
• 使用Hadamard正则化积分和多齐次函数的推送定理，推导出手术公式所必需的渐近展开式。