[论文解读] Determination of 2-Adic Complexity of Generalized Binary Sequences of Order 2

Minghui Yang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过推导涉及 $\text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$ 和 $\text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$ 的闭式表达式，精确确定了在复合周期 $pq$ 上通过勒让德符号定义的广义二元序列（阶为2）的2-adic复杂度。主要贡献在于提出了更紧致的下界以及改进的充分条件，以实现最大2-adic复杂度，超越了[5]和[7]中的先前结果。

ABSTRACT

The generalized binary sequences of order 2 have been used to construct good binary cyclic codes [4]. The linear complexity of these sequences has been computed in [2]. The autocorrelation values of such sequences have been determined in [1] and [3]. Some lower bounds of 2-adic complexity for such sequences have been presented in [5] and [7]. In this paper we determine the exact value of 2-adic complexity for such sequences. Particularly, we improve the lower bounds presented in [5] and [7] and the condition for the 2-adic complexity reaching the maximum value.

研究动机与目标

• 确定周期为 $pq$ 的广义二元序列（阶为2）的精确2-adic复杂度，其中 $p$ 和 $q$ 为不同的奇素数。
• 改进[5]和[7]中提出的2-adic复杂度现有下界。
• 细化2-adic复杂度达到理论最大值的充分条件。
• 利用高斯和与模运算的性质，建立2-adic复杂度的闭式表达式。

提出的方法

• 通过涉及勒让德符号和二次高斯和 $G_p$ 与 $G_q$ 的序列定义，推导出 $S(2) \bmod (2^{pq} - 1)$ 的显式公式。
• 应用模运算恒等式简化 $2S(2) \bmod (2^{pq} - 1)$，将其表示为几何级数与高斯和乘积的形式。
• 利用勒让德符号的性质以及模奇素数下2的乘法阶，分析 $S(2)$ 被 $2^p - 1$、$2^q - 1$ 和 $2^{pq} - 1$ 整除的性质。
• 引入并证明 $d_1 = \text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$，$d_2 = \text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$，以及 $d_3 = 1$，其中 $d = d_1 d_2 d_3 = \text{gcd}(S(2), 2^{pq} - 1)$。
• 运用数论论证，包括欧拉定理及模素因子下2的阶分析，证明 $d_1$、$d_2$ 和 $d_3$ 两两互素。
• 建立2-adic复杂度为 $C_2(S) = \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/d_1 d_2\big)$，并给出 $d_1 = 1$ 或 $d_2 = 1$ 的显式条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 周期为 $pq$ 的广义二元序列（阶为2）的2-adic复杂度的确切值是多少？
• RQ2 如何在[5]和[7]中先前报告的下界基础上改进2-adic复杂度？
• RQ3 在何种条件下，2-adic复杂度达到其最大可能值 $\text{log}_2(2^{pq} - 1)$？
• RQ4 $(q-1)$ 和 $(p+1)$ 的奇部在决定2-adic复杂度中起什么作用？

主要发现

• 序列的精确2-adic复杂度为 $C_2(S) = \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/d_1 d_2\big)$，其中 $d_1 = \text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$ 且 $d_2 = \text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$。
• 若 $(q-1)_o < 2p + 1$，则 $d_1 = 1$；若 $(p+1)_o < 2q + 1$，则 $d_2 = 1$，从而导致 $C_2(S)$ 的表达式简化。
• 提出新的下界：$C_2(S) \geq \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/\text{max}((q-1)_o, (p+1)_o)\big)$，该下界优于[5]和[7]中的先前结果。
• 当 $(q-1)_o < 2p - 1$ 且 $(p+1)_o < 2q - 1$ 同时成立时，2-adic复杂度达到最大值 $\text{log}_2(2^{pq} - 1)$。
• 证明表明 $d_3 = \text{gcd}(S(2), (2^{pq} - 1)/((2^p - 1)(2^q - 1))) = 1$，从而确保 $d = d_1 d_2$。
• 分析确认 $d_1$、$d_2$ 和 $d_3$ 两两互素，这对最终公式的精确性至关重要。