[论文解读] Determination of all pure quantum states from a minimal number of observables

Damien Mondragon, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 22被引用 21

一句话总结

本文证明，在维度 $ n \geq 6 $ 时，四个通用满秩可观测量对于确定任意纯量子态是信息完备的，从而实现模全局相位的单射相位恢复，仅需 $ 4n $ 个强度测量。该结果是紧致的，因为少于四个可观测量在高维中无法实现信息完备性，且该构造给出了 $ \mathbb{C}P^{n-1} $ 到 $ \mathbb{R}^{4n-4} $ 的嵌入。

ABSTRACT

We show that for any positive integer $n$, the maps $x \in \mathbb{C}^n \mapsto \{\left|\langle x, z_i angle ight|^2\}_{i=1}^{4n} \in \mathbb{R}^{4n}$, where $z_i$ are the columns of four $n imes n$ unitary matrices, are generically injective modulo multiplication by a global phase factor, yielding a family of embeddings of $\mathbb{C}P^{n-1}$ into $\mathbb{R}^{4n-4}$. In particular, this implies that distribution measurements about a pure state with four generic full-rank observables are informationally complete, which is sharp for $n \geq 6$. To complement this information-theoretic study, we establish in a companion paper that the PhaseLift algorithm yields efficient phase retrieval from quadratic measurements with $O(1)$ unitary matrices, with high probability, where the unitaries are iid according to Haar measure.

研究动机与目标

• 确定在模全局相位下唯一重构 $ \mathbb{C}^n $ 中任意纯量子态所需的最少可观测量数量。
• 通过证明当 $ n \geq 6 $ 时，四个可观测量对信息完备性而言既必要又充分，解决长期存在的泡利问题与赖特猜想。
• 利用实代数几何与纳什分层，建立紧致的信息论界限，表明 $ 4n $ 个测量在一般情况下既充分又必要。
• 将信息论恢复极限与高效计算恢复相联系，通过证明 PhaseLift（一种半定规划）在仅使用 $ O(1) $ 个酉矩阵时，以高概率实现精确重构。
• 通过四个酉矩阵提供 $ \mathbb{C}P^{n-1} $ 到 $ \mathbb{R}^{4n-4} $ 的几何构造，确认该界限的紧致性。

提出的方法

• 使用实代数几何分析测量映射 $ x \mapsto \{ |\langle x, z_i \rangle|^2 \}_{i=1}^{4n} $ 的纤维维数，其中 $ z_i $ 为四个 $ n \times n $ 酉矩阵的列。
• 应用纳什分层与维数理论，证明非单射测量映射的集合具有至少为一的余维数，从而表明模全局相位下具有通用单射性。
• 采用半代数变换 $ \phi_j $ 比较奇点集 $ W_{ij} $ 的维数，将问题约化为有界子簇 $ Y \subset \mathbb{R}^{4n} $ 的维数。
• 计算 $ Y $ 在正则点处的切空间维数，得出 $ \dim Y = 3n - 5 $，从而推出 $ \dim W_{ij} \leq 3n - 5 $，支持单射性结果。
• 利用概率方法与酉群上的哈尓测度，证明随机酉矩阵以高概率产生单射测量。
• 将理论单射性与算法恢复相结合，证明 PhaseLift（一种半定规划）在仅使用 $ O(1) $ 个酉矩阵时，以高概率精确恢复纯态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模全局相位下，唯一确定 $ \mathbb{C}^n $ 中任意纯量子态所需的最少可观测量数量是多少？
• RQ2 四个通用满秩可观测量是否能在维度 $ n \geq 6 $ 下实现纯态的信息完备性，且该数量是否为紧致的？
• RQ3 在高维中，何种几何与代数障碍阻止少于四个可观测量实现信息完备性？
• RQ4 能否从常数个酉测量中实现高效且精确的相位恢复？PhaseLift 算法在此类条件下是否成功？
• RQ5 测量映射 $ x \mapsto \{ |\langle x, z_i \rangle|^2 \} $ 的结构如何与 $ \mathbb{C}P^{n-1} $ 到欧氏空间的嵌入相关？

主要发现

• 对于任意 $ n \geq 6 $，映射 $ x \mapsto \{ |\langle x, z_i \rangle|^2 \}_{i=1}^{4n} $，其中 $ z_i $ 为四个 $ n \times n $ 酉矩阵的列，模全局相位下具有通用单射性。
• 该构造产生了一类 $ \mathbb{C}P^{n-1} $ 到 $ \mathbb{R}^{4n-4} $ 的嵌入，确认 $ 4n $ 个强度测量对信息完备性是充分的。
• 该结果是紧致的：当 $ n \geq 6 $ 时，至少需要四个可观测量才能实现信息完备性，这是由于将 $ \mathbb{C}P^n $ 嵌入欧氏空间所导致的几何障碍。
• 在单射性失败的奇点集 $ W_{ij} $ 的维数至多为 $ 3n - 5 $，这意味着非单射配置的集合具有至少为一的余维数。
• 当酉矩阵独立且均匀分布（哈尓测度）时，PhaseLift 算法以高概率从 $ O(1) $ 个酉矩阵中精确恢复任意固定纯态。
• 从信息论极限（4 个可观测量）到通过 PhaseLift 实现高效恢复，仅需常数倍的过采样因子，表明最优信息含量可实现高效恢复。