[论文解读] Determination of the prime bound of a graph

Abderrahim Boussaïri, Pierre Ille|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过分析图的最大模团数和稳定性数，确定了图的素数界——即将非素数图扩展为素数图所需的最少顶点数。当这些数的最大值为2的幂时，本文建立了精确的公式，解决了关于素数扩展大小上界的猜想。

ABSTRACT

Given a graph $G$, a subset $M$ of $V(G)$ is a module of $G$ if for each $v\in V(G)\setminus M$, $v$ is adjacent to all the elements of $M$ or to none of them. For instance, $V(G)$, $\emptyset$ and $\{v\}$ ($v\in V(G)$) are modules of $G$ called trivial. Given a graph $G$, $ω_M(G)$ (respectively $α_M(G)$) denotes the largest integer $m$ such that there is a module $M$ of $G$ which is a clique (respectively a stable) set in $G$ with $|M|=m$. A graph $G$ is prime if $|V(G)|\geq 4$ and if all its modules are trivial. The prime bound of $G$ is the smallest integer $p(G)$ such that there is a prime graph $H$ with $V(H)\supseteq V(G)$, $H[V(G)]=G$ and $|V(H)\setminus V(G)|=p(G)$. We establish the following. For every graph $G$ such that $\max(α_M(G),ω_M(G))\geq 2$ and $\log_2(\max(α_M(G),ω_M(G)))$ is not an integer, $p(G)=\lceil\log_2(\max(α_M(G),ω_M(G))) ceil$. Then, we prove that for every graph $G$ such that $\max(α_M(G),ω_M(G))=2^k$ where $k\geq 1$, $p(G)=k$ or $k+1$. Moreover $p(G)=k+1$ if and only if $G$ or its complement admits $2^k$ isolated vertices. Lastly, we show that $p(G)=1$ for every non prime graph $G$ such that $|V(G)|\geq 4$ and $α_M(G)=ω_M(G)=1$.

研究动机与目标

• 确定将非素数图扩展为素数图所需的最少顶点数，即素数界。
• 通过模团数和稳定性数，对Brignall关于素数扩展大小上界的猜想进行细化。
• 基于模稳定性数和团数的最大值，刻画素数界。
• 通过证明素数界由模参数的对数函数紧密界定，解决该猜想。

提出的方法

• 引入模团数 ωₘ(G) 和模稳定性数 αₘ(G) 的概念，分别衡量也是模的团和稳定集的最大大小。
• 使用归纳法和递归构造法构建素数扩展，确保在扩展图中不引入非平凡模。
• 应用1-扩展技术，通过添加一个顶点 a，并仔细控制其与现有模的邻接关系，以破坏非平凡模。
• 采用标签系统 λ_G(N) 对模进行分类，确保仅扩展素子图，从而保持素性。
• 分析最小非素数子图的结构，并通过将顶点集划分为模来控制扩展行为。
• 证明当 max(αₘ(G), ωₘ(G)) 不是2的幂时，素数界 p(G) 恰好为 ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)))⌉；当其为 2ᵏ 时，素数界为 k 或 k+1。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定图的最大模团或稳定集，将非素数图扩展为素数图所需的最少顶点数是多少？
• RQ2 素数界如何依赖于模稳定性数和团数的最大值？
• RQ3 当 max(αₘ(G), ωₘ(G)) = 2ᵏ 时，素数界何时恰好为 k，何时为 k+1？
• RQ4 对于除单点和全集外无非平凡模的非素数图，素数界是否恒为1？
• RQ5 Brignall关于素数扩展大小上界的猜想是否成立？能否通过模参数进一步收紧？

主要发现

• 对于任意满足 max(αₘ(G), ωₘ(G)) ≥ 2 且 log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G))) 不是整数的图 G，素数界恰好为 ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)))⌉。
• 当 max(αₘ(G), ωₘ(G)) = 2ᵏ（k ≥ 1）时，素数界为 k 或 k+1，且 p(G) = k+1 当且仅当 G 或其补图有 2ᵏ 个孤立顶点。
• 对于所有满足 |V(G)| ≥ 4 且 αₘ(G) = ωₘ(G) = 1 的非素数图 G，素数界恰好为 1。
• 对于所有满足 max(αₘ(G), ωₘ(G)) ≥ 2 的图，素数界满足不等式 ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)))⌉ ≤ p(G) ≤ ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)) + 1)⌉。
• 通过添加单个顶点构造素数扩展，可确保所有非平凡模被破坏，且所得图是素图。
• 本文通过证明以 max(α(G), ω(G)) 表示的上界可借助模参数进一步细化，正面确认了Brignall的猜想。