[论文解读] Determining a nonlinear hyperbolic system with unknown sources and nonlinearity

Yi‐Hsuan Lin, Hongyu Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文通过被动和主动边界测量，首次建立了对时变半线性双曲方程中未知非线性项和初始源（初始位移与速度）的唯一恢复结果。通过结合高阶线性化、复几何光学（CGO）解以及波动方程可观测性，作者在一般条件下证明了初始数据与系数的同步唯一性，为非线性双曲系统反问题研究提供了新颖方法。

ABSTRACT

We investigate inverse boundary problems associated with a time-dependent semilinear hyperbolic equation, where both nonlinearity and sources (including initial displacement and initial velocity) are unknown. We establish in several generic scenarios that one can uniquely determine the nonlinearity or the sources by using passive or active boundary observations. In order to exploit the nonlinearity and the sources simultaneously, we develop a new technique, which combines the observability for linear wave equations and a Runge approximation with higher order linearization for the semilinear hyperbolic equation.

研究动机与目标

• 解决具有未知非线性项和未知初始源（初始位移与速度）的时变半线性双曲方程的反边界问题。
• 建立初始数据与非线性项可由边界测量唯一确定的条件。
• 提出一种结合高阶线性化、可观测性与CGO解的新技术，实现同步恢复。
• 将现有反问题框架扩展至包含双曲系统中未知零阶与一阶非线性项的情形。
• 统一被动与主动测量策略，以增强对源与非线性项的恢复能力。

提出的方法

• 对狄利克雷到诺伊曼映射进行高阶线性化，以提取关于非线性项与初始数据的信息。
• 使用形式为 $ v = a(x,t)e^{i\tau(\eta(x)+t)} + R^{(\tau)} $ 的复几何光学（CGO）解，通过振荡解探测系统。
• 证明CGO解的存在性，其满足传输方程 $ a_t - \frac{x}{|x|} \cdot \nabla a - \frac{n-1}{2|x|}a = 0 $，且余项 $ R^{(\tau)} $ 在 $ |\tau| \to \infty $ 时于 $ L^2 $ 中趋于零。
• 应用双曲型逼近性质，将线性化波动方程的解与原始半线性系统联系起来。
• 利用线性波动方程解的乘积完备性，重构未知系数与初始数据。
• 利用首次线性化可消除初始数据的特性，从而将非线性项分离并唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 当零阶系数已知时，能否通过被动边界测量唯一确定半线性双曲方程的初始数据？
• RQ2 在何种条件下，可通过主动边界测量同时恢复初始数据与非线性项？
• RQ3 如何将高阶线性化与CGO解结合，以恢复具有未知源的双曲系统中的未知非线性项？
• RQ4 是否可通过可观测性与解的完备性组合，唯一恢复半线性双曲方程中的初始数据与零阶系数？
• RQ5 对非线性项的何种结构假设可实现通过被动或主动测量的唯一恢复？

主要发现

• 当零阶系数已知时，初始数据可通过被动边界测量唯一确定。
• 当非线性项属于特定类时，即使非线性项未知，初始数据仍可通过被动测量唯一恢复。
• 在可接受的系数条件下，通过双曲逼近性质与波动解的完备性，可同步恢复初始数据与系数。
• 狄利克雷到诺伊曼映射的首次线性化可消除初始数据，从而将非线性项分离并唯一确定。
• 所提方法首次实现了在对应线性化版本中同步恢复初始数据与零阶系数的结果，如推论2.7所述。
• 局部适定性所需的有界性条件仅用于解的存在性，不影响反问题唯一性结果。