[论文解读] Determining Acceptance Possibility for a Quantum Computation is Hard for the Polynomial Hierarchy

Stephen Fenner, Frederic Green+2 more|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文证明，判断一个量子计算是否具有非零接受概率的问题在多项式层次（PH）中是困难的，表明该问题完全属于复杂度类 coC$_=$P。通过证明量子版的 NP（即 NQP）等于 coC$_=$P，作者展示了此类接受决策问题至少与 PH 中的问题一样困难，揭示了量子计算验证的根本计算限制。

ABSTRACT

It is shown that determining whether a quantum computation has a non-zero probability of accepting is at least as hard as the polynomial time hierarchy. This hardness result also applies to determining in general whether a given quantum basis state appears with nonzero amplitude in a superposition, or whether a given quantum bit has positive expectation value at the end of a quantum computation. This result is achieved by showing that the complexity class NQP of Adleman, Demarrais, and Huang, a quantum analog of NP, is equal to the counting class coC$_=$P.

研究动机与目标

• 研究判断一个量子计算是否具有非零接受概率的计算复杂度。
• 分析量子复杂度类与经典复杂度类之间的关系，特别是多项式层次（PH）。
• 确立量子接受可能性决策问题的确切复杂度。
• 阐明量子基态和期望值在量子计算验证中的作用。

提出的方法

• 作者定义并分析了量子复杂度类 NQP，即 NP 的量子类比，其捕捉了量子机器具有非零接受概率的问题。
• 他们证明 NQP 等于经典计数类 coC$_=$P，后者由其补集属于 C$_=$P（具有精确相等性的计数问题）的问题组成。
• 利用代数和组合技术，他们将接受问题约化为二元矩阵和多项式上的计数问题。
• 该证明依赖于量子振幅的性质和量子线路的结构，以表明非零接受等价于一个 coC$_=$P 决策问题。
• 他们利用量子查询复杂度和量子态振幅结构的结果，建立了困难性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断一个量子计算是否具有非零接受概率是否与多项式层次中的问题一样困难？
• RQ2 量子复杂度类 NQP 与经典计数类（如 coC$_=$P）之间的精确关系是什么？
• RQ3 检测特定量子基态在叠加中是否具有非零振幅的问题能否约化为已知的经典复杂度类？
• RQ4 量子比特的期望值与量子计算验证的复杂度之间有何关系？

主要发现

• 判断一个量子计算是否具有非零接受概率在多项式层次（PH）中是困难的。
• 量子复杂度类 NQP 恰好等于经典计数类 coC$_=$P。
• 判断特定量子基态在叠加中是否以非零振幅出现的问题是 coC$_=$P-完全的。
• 判断给定量子比特在量子计算结束时是否具有正期望值的问题也是 coC$_=$P-完全的。
• 这些结果表明，验证量子计算的基本性质在计算上与求解多项式层次中的问题一样困难。